2023-2024学年河北省保定市高二上学期上月开学考试数学答案(1)
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�高二数学�参考答案�第� �页�共�页�� 新高二年级开学考 数学参考答案 � � � �因为� �� � � � � � � � � � � � � � � 所以�的虚部为� � � � � � �因为� � � � 所以� � � � � �� 解得�� � � � � ��因为� � ���� �� 所以� � ���� � � � � � 槡 ��槡 �� �� 设� � � �外接圆的半径为�� 因为 � � � � 所以�� � � � � ��� � � �槡 �� � 槡 � ��� � � � �若一条直线与一个平面有公共点� 则这条直线在该平面内或与该平面相交� �不正确� 若 平面外一条直线有两个点到该平面的距离相等� 则这条直线与该平面平行或与该平面相交� �不正确� 垂直于同一条直线的两条直线可能平行� 异面或相交� �不正确� 垂直于同一条直 线的两个平面互相平行� �正确� � � � �因为� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 所以� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �共面� � � � �因为圆台的上底面和下底面的面积分别为� � � � � � � 所以该圆台上底面和下底面的半径分 别为槡��槡 ��� 所以该圆台的高为 � ���槡 槡 ����� 槡 ��� � 故该圆台的体积��� � �� � �� � � � 槡 �� � �� �� �� � �� � � �� � � � � 槡 �� � � � � � � � � ��� �� �� �� � � � � � � � � �如图� 取� �在下底面的投影�� 作� ��� �� 垂足为�� 连接� �� � �� � � �� 则� � � ��� �� � � � � �在 � � � �上的投影向量是 � � � �� 设上底面的半 径为� � 则� ��� � � � � ��� � � �� �� �� 故� � � � �在 � � � �上的投影向量是 � � � � � �� � � � �取� � �的中点�� 连接� �� 图略� � 则 � � � ��� � � � �� �� � � �� 则�� � � ��� � � � � � � � �� � � � � � 槡 ��� 即�� � � � � 槡 ��� 故动点�的轨迹为以�为球心� 槡�为半径的球� 由正方体� � � �� � � � � � � � �的棱长为� � 可知正方体� � � �� � � � � � � � �外接球的半径为槡�� 即动点�的轨迹 为正方体� � � ��� � � � � � � �的外接球� 取� �的中点�� 连接� �� 图略� � 则 � � � ��� � � �� ��� � � ��� � � �� ��� � � ��� � � �� ���� � � ��� � � �� ��� � � ��� � � �� �� � � � ��� � � � �� � �� � � � �� 由题可 知� �� � �� �槡 ��� 则槡 槡 ���� �� � � � � �槡 槡 ���� 槡 � � ��� �� � � � � �� 槡 � � ��� 则 槡 � � � ��� � � � � � � �� 槡 � � � ��� � � � � � �点�关于� � �平面对称的点是� �� � � � � � � � � �正确� 点�关于�轴对称的点是 {#{QQABDYiUogAoABIAABgCAQGACAOQkACCCIgOwBAIoAIBiRFABAA=}#} �高二数学�参考答案�第� �页�共�页�� � � � � � � � � � � � � �不正确�� � � ��� � � � � � � � �� � � ��� � � � � � � �� � � ��� � � � � � � � �� � � ��� � � ��� � � � � � � �� � � ��� � � ��� � � � � � �� � � � �� � � � � �均正确� � � � � � � �这� �天� � � � �日均值� 单位� � � � � �� 从小到大为� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 所以众数为� � � 故�正确� 因为第� �百分位数为� � � � � � � � � � 所以�错误� 因为平均数为� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 所以�正确� 因为前�天的均值为� � � � � � � � � � � � � � � � 所以前�天的方差为� � � � � � � � � � � 因为后�天的均值为� � � � � � � � � � � � � � � � 所以后�天的方差为� � � � � � � � � � � � � � 故� 正确� � � � � � �事件�的所有基本事件为甲�乙� � 甲�乙� � 甲�乙� � 共�个� 事件�的所有基本事件为甲�乙� � 甲�乙� � 甲�乙� � 甲�乙� � 甲�乙� � 甲�乙� � 甲�乙� � 甲�乙� � 甲�乙� � 甲�乙� � 甲�乙� � 甲�乙� � 共� �个� 事件�的所有基本事件为甲�乙� � 甲�乙� � 甲�乙� � 甲�乙� � 甲�乙� � 甲�乙� � 甲�乙� � 甲�乙� � 甲�乙� � 甲�乙� � 共� �个� 从甲� 乙两盒中各取�个小球共有� �个基本事件� 因为事件�与事件�不可能同时发生� 所以事件�与事件�互斥� 故�正确� 因为�� �� �� � � � �� �� � � � � � � �� �� � �� �� � � � 所以�错误� 因为事件�� �的所有基本事件共有� �个� 所以�� �� �� � � � � � � 所以�� �� �� � �� �� � 故 �正确� 因为事件�� �的所有基本事件共有�个� 所以�� �� �� �� � � � 所以�� �� �� ��� �� � 故 �错误� � � � � � � � � � � � � � �连接� �交� �于点�� 连接� �� 则� �� � �� � �� � �� 因为� �� � �� �� 且� �� � �均在平面� � �内� 所以� ��平 面� � �� 因为� ��平面� � �� 所以� �� � �� 故�正确� 在� � � �中� � �� � �� � � � �为变量� 所以点�到直线� �的 距离不为定值� 故�错误� 连接� �� 图略� � 因为� �� � �� 所以� �与� �所成的角为� � � �� 当� � � �� � � � 时� 当 � � � �� � � � � 时� 点�与点�重合� 舍去� � � �� � � 易知二面角��� ���的平面角为 � � � �� {#{QQABDYiUogAoABIAABgCAQGACAOQkACCCIgOwBAIoAIBiRFABAA=}#} �高二数学�参考答案�第� �页�共�页�� 在� � � �中� 由余弦定理得� � � � � � ��� �� 因为二面角�� � �� �的平面角为� � � �� 所以二面角�� � �� �的余弦值为�� �� 故�错误� 因为� �与平面� � �所成的角最大� 即点�到平面� � �的距离最大� 所以平面� � ��平面� � �� 如图� 设�为三棱锥�� � � �外接球的球心� �为� � � �外接圆的圆心� 连接��� � �� 设外接球的半径为�� 易知���槡� �� � ��槡 �� �� 所以� ��� � ���� ��� � ��� �� 所以三棱锥�� � � �外接球的表面积为� � � �� 故�正确� � � � � ��� � � ��� � �� � � �� � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � ��� �� � � � � � � � � � �� � � ��� � � � � � � � � �� � � ��� � � � �� � � � � � 因为四边形� � � �为平行四边形� 所以 � � � ��� � � �� 所以��� � � � � � � � � 则� �� � � �� � � � � � � � � � 槡� �� 槡��因为 � � � ��� � � � � � � � � � �� � � ��� � � � � � � � 所以� � � �� � � ��� � � �� � � � 槡 槡 �� �� ��槡� �� 所以直线� �与� �的夹角的余弦值为槡� �� 因为 � � � ��� � � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � 所以� � � �� � � �� � � � �� �� � 槡�� � ��槡� �� 因为� � � �� � � �� � � � �� �� �� �槡� �� 槡 ��槡� �� 所以点�到直 线� �的距离为�� � � � � � � � �� � � �� � � � ��槡 ���槡� � 槡 ��� � � � � � �设� � � � � � � � � � �� � � 则� � � � � � � 槡 � ��的几何意义为�在复平面内所对应的点� � � � � 到� � � � � � 的距离为 槡 ��� 所以�所对应的点� � � � � 的轨迹是以� � � � � � 为圆心�槡 ��为半径 的圆� 而� � � � � � �� � �可看作该圆上的点� � � � � 到原点的距离的平方� 所以� �� � �� � � ��� 槡� 槡 � ��� �� � � � � � � 解� � � � 依题意可得� � � �为正三角形� 因为� �� � � 所以� � 槡 ��� �分 … … … … … … … … 所以�� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � 槡�� � � � �� � � � � � � � �分 … … … … … … … … … … … … … … … � � � 因为 � � � ��� � � � � � � � �� � � ��� � � �槡 ��� � � � �分 … … … … … … … … … … … … … … … … 所以� � � �� � � ��� � � �� � � � � ��� � � � �� � � � � �� � � � � � � 槡 � � �� �槡� �� � �分 … … … … … … … … … … … … … … … � � � 解� � � � 因为�� �� � �� �� �� �� � � 所以��� �� �分 … … … … … … … … … … … … … … {#{QQABDYiUogAoABIAABgCAQGACAOQkACCCIgOwBAIoAIBiRFABAA=}#} �高二数学�参考答案�第� �页�共�页�� 因为� � � � � �� �� � � � ��� � � 所以� � � � � ��� �� � � � ��� � � � � ��� �� � �分 … … … … … … 则� � �� 槡 �� � � ���� � � � ���槡� �� � ��� 即� � �� 槡 � �� � � ��� �分 … … … … … … … … … … 所以� � �� 槡 � ��� �分 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … � � � � � ���槡 �� 槡 �� � � � ���� � � � � ��� �� �� � � ��� � � �� � � � � � ��� � � �� � �槡� �� � � ���槡� 槡� � �分 … … … 由 � � � ���� � � ���� � � ��� � � � � 可得� 槡 � ��� � 槡 � ��� � �分 … … … … … … … … … … … … … � � � � ��� � � � � � ���� � 槡 槡 � ��� ���槡� �� 槡 � �� �� � �分 … … … … … … … … … … … … … … … � � � 解� � � � 由� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 解得� � � � � � � � �分 … … … … … … 满意度评分值的平均数� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �分 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 设满意度评分值的中位数为�� 则��� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � 解得�� � � � 即满意度 评分值的中位数为� � � �分 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … � � � 这� � � �名网民中� 满意度评分值在� � � � � � � 内的有� � � � � � � � � � � �人� 满意度评分值在 � � � � � � � � 内的有� � � � � � � � � � � �人� �分 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 抽取的�人中满意度评分值在� � � � � � � 内的有�人� 记这�人分别为�� �� 满意度评分值在� � � � � � � � 内的有�人� 记这�人分别为� � � � � � �� �分 … … … … … … … … … 从�人中抽取中随机抽取�人的情况为� �� �� � � � � �� �� � � � � �� �� � � � � �� �� �� � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � �� � � �� � � � � � � �� � � �� � � �� � � �� � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � �� � � �� � � � � � � �� � � �� � � �� � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � 共� �种� � �分 … … … … … … … … 其中�人满意度评分值均在� � � � � � � � 内的情况为� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � 共� 种� � �分 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 所以抽到的�人满意度评分值均在� � � � � � � � 内的概率为� � � �� �� � �分 … … … … … … … … � � � � � � 证明� 在图�中� � � �� � � �� � � �� � � �� 所以在图�中� � �� � �� � �� � �� �分 … … 因为� �� � �� �� 所以� ��平面� � �� �分 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 又� ��平面� � �� 所以� �� � �� �分 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … � � � 解� 在图�中� 由题可知� � � �� � � �� � � 由� � � � � �� � � � � 得� � � � 槡 ��� � � � �� � � �分 … … … … … … … … … … … … … … … … … … 在图�中� � �� � � � ��� �� � ��槡� �� � � � �� � � � � {#{QQABDYiUogAoABIAABgCAQGACAOQkACCCIgOwBAIoAIBiRFABAA=}#} �高二数学�参考答案�第� �页�共�页�� 则� � � � ��� �� � �� ��槡� ��槡 �� �� �分 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 所以� �� � � ��� ��槡 �� ��槡� ��� �� �分 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … � � � � ��� �� � �槡� ��槡� �� � �分 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 设点�到平面� � �的距离为�� 由� �� � � �� � �� � � �� 得� ��槡� ���� �� � �分 … … … … … … 解得��槡 �� �� 即点�到平面� � �的距离为 槡 �� �� � �分 … … … … … … … … … … … … … … … � � � 解� 设甲� 乙� 丙� 丁各自在一次投壶中投中分别记为事件�� �� �� �� 则�� �� � �� �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �分 … … … … … … … … … … … … … … … … … … � � � 设只有一人投中为事件�� 则�� �� � �� ����� ����� ����� ����� � �� ����� � �� ����� � �� ����� � �� ����� �分 … … … … … … … … … … � � �� � �� �� �� � �� ��� � �� �� �� � �� ��� ��� � � � �分 … … … … … … … … … … … … … … � � � 若甲投中�次� 则丁至少投中�次� 若甲投中�次� 则丁投中�次� �分 … … … … … …
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