名校联考联合体2021-2022学年高二下学期3月联考数学试卷（word原卷）

名校联考联合体2022 年春季高二3 月联考 数 学 时量：120 分钟满分：150 分 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1．命题“ ， ”的否定为（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 2．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 3．某社区为迎接2022 农历虎年，组织了隆重的庆祝活动，为全面了解社区居民的文娱喜 好，已知参加活动的老年人、中年人、青年人的人数比为10：13：12，如果采用分层抽样 的方法从所有人中抽取一个70 人的样本进行调查，则应抽取的青年人的人数为（ ） A．20 B．22 C．24 D．26 4．“圆柱容球”是阿基米德生前最引以为豪的发现，他死后，墓碑上刻着一个“圆柱容 球”的几何图形．如图，球与圆柱的侧面及上、下底面相切，设圆柱体积与球的体积之比 为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，则 （ ） A． B．1 C．2 D．4 5． 的展开式的各项系数和为 ，则a 的值是（ ） A．2 B．3 C．6 D．8 6．阿波罗尼斯研究圆锥曲线的光学性质得到：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛 物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的光线，经抛 物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点．设抛物线C： ，一束平行于抛物线对称 轴的光线经过A（6，2），被抛物线反射后，又射到抛物线C 上的Q 点，则直线FQ 的方 程为（ ） A． B． C． D． 7 ．已知函数 ，若实数 m ，n 满足不等式 ，则（ ） A． B． C． D． 8 ．已知函数 ，若数列 满足 ， ，其前n 项和为 ，且 ，设 ，则数列 的前n 项和 为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9．已知i 是虚数单位，若 ，则（ ） A．复数z 的虚部为 B． C．复数z 对应的点在第二象限 D． 10．下列各式中值为1 的是（ ） A． B． C． D． 11．设 ，则（ ） A． B． C． D． 12．已知平面内到两个定点A，B 的距离之比为定值 （ ）的点的轨迹是圆．在平面 直角坐标系xOy 中，已知A（ ，0），B（4，0），若 ，则下列关于动点P 的结论 正确的是（ ） A．点P 的轨迹所包围的图形的面积等于 B．当P、A、B 不共线时，△PAB 面积的最大值是6 C．当A、B、P 三点不共线时，射线PO 是∠APB 的平分线 D．若点Q（ ，1），则 的最小值为 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13．已知向量 ， ， ，则 ________． 14．已知点P 是曲线 上一动点，则曲线在点P 处的切线的斜率最大为________． 15．已知函数 ，则函数 的最小值为________． 16．若双曲线C 的方程为 ，记双曲线C 的左、右顶点为A，B．弦PQ⊥x 轴， 记直线PA 与直线QB 交点为M，其轨迹为曲线T，则曲线T 的离心率为________． 四、解答题：本题共6 个小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题10 分） 在△ABC 中，a，b，c 分别为内角A，B，C 所对的边， ． （1）求A； （2）若 ，求△ABC 面积的最大值． 18．（本小题12 分） 已知等差数列 的公差为2，前n 项和为 ，且 ， ， 成等比数列， 的 前n 项和为 ，且 ， （ ）． （1）求 的通项公式； （2）求数列 的前n 项和 ． 19．（本小题12 分） 大学生创业越来越被视为一个迂回的路径来解决就业，人社部门和相关部门还发布了 一系列政策，鼓励大学生创新事业，试图通过学院和大学，政府和社会建立有效机制，引 导学生创新，支持大学生实践创业．为积极吸纳人才创业，繁荣地方经济，某市特别打造 了大学生智慧孵化园区项目，为了了解大学生对产业园创业孵化项目的满意度，从有意来 本市创业的大学生中随机抽取若干大学生对该项目进行评分（满分100 分），绘制成如图 所示的频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级： 满意度评分 低于60 分 60 分到79 分 80 分到89 分 不低于90 分 满意度等级 不满意 基本满意 满意 非常满意 （1）若规定：分数不少于70 分称为项目规划合格，不少于80 分称为项目规划优秀．求出 这个样本的项目规划合格率和优秀率； （2）在等级为不满意的学生中，硕士研究生占 ，现从该等级大学生中按学历分层抽取9 人了解不满意的原因，并从中选取3 人担任项目督导员．记X 为硕士督导员的人数，求X 的分布列及数学期望E（X）． 20．（本小题12 分） 如图1，菱形ABCD 的边长为3，且∠ABC=60°，AE=AF= ，BE=DF= ．将图 中各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E，F，M，N 汇聚为一点P，恰好形成如图2 的四 棱锥． （1）证明PA⊥底面ABCD； （2）设点T 为BC 上的点，且二面角B−PA−T 的平面角的正弦值为 ，试求PC 与平 面PAT 所成角的正弦值． 21．（本小题12 分） 已知双曲线C1： ，抛物线C2： （ ），F 为C2的焦点，过 F 垂直于x 轴的直线l 被抛物线C2截得的弦长等于双曲线C1的实轴长． （1）求抛物线C2的方程； （2）过焦点F 作互相垂直的两条直线，与抛物线C2分别相交于点A、B 和C、D，点P、 Q 分别为AB、CD 的中点，求△FPQ 面积的最小值． 22．（本小题12 分） 已知函数 ，其中 ， ． （1）若 ，求 的最小值； （2）若 ， ，求证：