余姚中学2022学年10月质量检测高二数学学科试卷

余姚中学2022 学年10 月质量检测高二数学学科试卷 命题：徐夙莹 审题：何彩芽 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1. 若直线过两点(1,0) ，(4,3 3)，则此直线的倾斜角是 ( ) A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 已知a  ，b  ，c  ，d   是四个非零向量，下列说法正确的是 ( ) A. a b a b      B.   2 2 2 a b a b       C. 如果a b    ，c d     ，那么a c b d       D. 如果 0 a b    ，那么a b    3. 已知一个样本，样本容量为10，平均数为15，方差为3，现从样本中去掉一个数据15，此时样本的平 均数为x ，方差为 2 s ，则 ( ) A. 15 x  ， 2 3 s  B. 15 x  ， 2 3 s  C. 15 x  ， 2 3 s  D. 15 x  ， 2 3 s  4. 在一次试验中，随机事件A，B 满足P(A) = P(B) = 2 3 ，则 ( ) A. 事件A，B 一定互斥 B. 事件A，B 一定不互斥 C. 事件A，B 一定互相独立 D. 事件A，B 一定不互相独立 5. 已知点A (2，3)，B (3，2)，直线l 经过定点(1，1)且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围 为 ( ) A.   3 , 4 , 4         B. 1 3 , , 4 4                C. 3 4, 4        D. 3,4 4       6. 已知△ABC 的顶点B (2，1)，C (6，3)，其垂心为H (3，2)，则其顶点A 的坐标为 ( ) A. (19，62) B. (19，62) C. (19，62) D. (19，62) 7. 在二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB， 若AB = 1，AC = 2，BD = 3，CD =2 2 ，则这个二面角的大小为 ( ) A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 8. 如图，已知电路中有5 个开关，开关 5 S 闭合的概率为1 3 ，其他开关闭 合的概率都是1 2 ，且每个开关的闭合相互独立，则灯亮的概率为 ( ) A. 7 8 B. 15 16 C. 23 24 D. 4 5 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9. 已知   2 ,1,3 a x x    ，   2, ,3 b y   ，若 / / a b   ，则x y  的值可能为 ( ) A. 2 B. 1 C. 1 D. 2 10. 已知甲袋中有5 个大小、质地相同的球，其中有4 个红球，1 个黑球；乙袋中有6 个大小、质地相同 的球，其中有4 个红球，2 个黑球. 下列说法中正确的是 ( ) A. 从甲袋中随机摸出1 个球是红球的概率为4 5 B. 从乙袋中随机摸出1 个球是黑球的概率为2 3 C. 从甲袋中随机摸出2 个球，则2 个球都是红球的概率为3 5 D. 从甲、乙袋中各随机摸出1 个球，则这2 个球是1 红1 黑的概率为2 5 11. 如图，正方体ABCD—A1B1C1D1 的棱长为2，E，F，G 分别为棱BC，CC1，BB1 的中点，则下列结论 正确的是 ( ) A. 直线EF 到平面A1ADD1 的距离为2 B. 点A1 到平面AEF 的距离为4 3 C. 点A1 到直线AF 的距离为4 2 3 D. 点C 与点G 到平面AEF 的距离相等 12. 如图， 在三棱锥A—BCD 中， 平面ABC⊥平面BCD， △ABC 与△BCD 均为等腰直角三角形， 且∠BAC =∠BCD = 90°，BC = 2，P 是线段AB 上的动点（不包括端点） ，若线段CD 上存在点Q，使得异面直线PQ 与AC 成30°的角，则线段PA 的长度可能为 ( ) A. 3 3 B. 2 2 C. 6 3 D. 3 2 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13. 已知三点A (2，3)， B(4，3)，C (，k) 三点共线，则实数k 的值为__________. 14. 若事件A 与B 相互独立，且P(A) = 2 3 ，P(B) = 1 4 ，则P(A∪B) = __________. 15. 若 (1,1,1) a   与 ( ,2,2) b x   的夹角为锐角，则实数x 的取值范围是__________. 16. 已知圆柱OO1 中，点A 在圆O 上，AO = 1，OO1 = 2 ，点P，Q 在圆O1 上，且满足PQ = 2 3 3 ，则 直线AO1 与平面OPQ 所成角的正弦值的最大值为__________. C D B A P Q 四、解答题：本大题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 b cos A + a cos B = 2c cos A. (1) 求角A 的大小； (2) 若a = 2，求b + c 的最大值. 18. 如图所示，从参加环保知识竞赛的学生中抽出40 名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布 直方图如下，观察图形，回答下列问题. (1) 80 ~ 90 这一组的频数、频率分别是多少？ (2) 估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数； (3) 从成绩是80 分以上（包括80 分）的学生中选2 人，求他们在同一分数段的概率. 19. 已知数列 n a 的前n 项和为 n S ， 1 3 a  ，且 * 1 1( 2, ) 1 n n S S n n N n n       . (1) 求数列 n a 的通项公式； (2) 若   1 3 n n n a S b n    ，求数列 n b 的前n 项和 n T . 20. 如图， 在四棱锥P—ABCD 中， 侧棱PA ⊥ 底面ABCD， 底面ABCD 是矩形， 且AB = 2， PA = AD = 3， 点E 为棱PD 的中点. (1) 证明： PD ⊥ 平面ABE； (2) 求BE 与平面AEC 所成角的正弦值. 21. 如图，在△ABC 中，AB = 1，BC =2 2 ，B = 4 ，将△ABC 绕边AB 旋转至△ABP，使平面ABP⊥平 面ABC，D 是BC 的中点. (1) 求平面ABC 与平面PBC 的夹角的余弦值； (2) 设点Q 是线段PA 上的动点，当直线PC 与直线DQ 所成角最小时， 求线段AQ 的长度. 22. 已知 2 ( ) 2 2 2 1 x x f x a a     ，x R  . (1) 若 0 a  ，解关于x 的方程 ( ) ( 1) 4x f x a    ； (2) 设 ( ) ( ) 2x f x h x  ，若当 1 2 a  时，对任意 1 x ，   2 1,1 x  总有 1 2 1 ( ) ( ) 2 a h x h x    ，求实数a 的取值 范围. E C A D B P D A B C P Q