湖北省武汉市江岸区2022-2023学年高一上学期期末质量检测数学试题

（北京）股份有限公司 2022~2023 学年度第一学期期末质量检测 高一数学试卷 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合 ， ，若 ，则 的取值范围（ ） A. B. C. D. 2.命题“ ，都有 ”的否定是（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 3.已知 ，则 等于（ ） A. B. C. D. 4.已知函数 （ ）且 ，则 （ ） A. B. C.3 D.随 ， 的值而定 5.已知函数 是 上的单调函数，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.已知 为正实数，且 对任意的实数 均成立，则 的最小值为 （ ） A.1 B.4 C.8 D.9 7.设 ，则（ ） （北京）股份有限公司 A. B. C. D. 8. 设函数 ，其中 ， ， ， 为已知实常数， ，若 ，则（ ） A.对任意实数 ， B.存在实数 ， C.对任意实数 ， D.存在实数 ， 二、多项选择题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求.全部选对得5 分，部分选对得2 分，有选错的得0 分. 9.下列三角函数值为负数的是（ ） A. B. C. D. 10.下列计算或化简结果正确的是（ ） A.若 ，则 B.若 ，则 C.若 ，则 D.若 为第二象限角，则 11.定义域和值域均为 的函数 和 的图象如图所示，其中 ，下列四个 结论中正确的有（ ） （北京）股份有限公司 A.方程 有且仅有三个解 B.方程 有且仅有三个解 C.方程 有且仅有八个解 D.方程 有且仅有一个解 12.已知函数 ， 的零点分别为 ， ，给出以下结论正 确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13.已知 .若 ，则 的值为_________. 14.若正数 ， 满足 ， ，则 的值为__________. 15.已知实数 ，且 ，则 的最大值是___________. 16.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 （单位：mg/L）与时间（单位：h） 间的关系为 ，其中 ， 是正的常数。如果在前5h 消除了10%的污染物，那么经过_______h 污染 物减少50%（精确到1h）？取 ， 四、解答题：本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10 分）若 ， ，且 . （北京）股份有限公司 （1）解关于 的不等式 的解集（解集用 的三角值表示）； （2）求 的最大值. 18.（本小题满分12 分）中国最早用土和石片刻制成“土主”与“日暑”两种计时工具，成为世界上最早发 明计时工具的国家之一。铜器时代，使用青铜制的“漏壶”，东汉元初四年张衡发明了世界第一架“水运浑 象”，元初郭守敬、明初詹希元创制“大明灯漏”与“五轮沙漏”，一直到现代的钟表、手表等。现在有人 研究钟的时针和分针一天内重合的次数，从午夜零时算起，假设分针走了min 会与时针重合，一天内分针和 时针重合 次。 （1）建立关于 的函数关系； （2）求一天内分针和时针重合的次数 . 19.（本小题满分12 分）在平面直角坐标系 中， 是坐标原点，角 的终边 与单位圆的交点坐标为 ，射线 绕点 按逆时针方向旋转 弧度后交单位圆于点 ，点 的纵坐标 关于 的函数为 . （1）求函数 的解析式，并求 的值； （2）若 ， ，求 的值. 20.（本小题满分12 分）已知函数 （ 为常数）. （1）当 ，求 的值；（参考数据： ， ） （北京）股份有限公司 （2）若函数 为偶函数，求 在区间 上的值域. 21.（本小题满分12 分）武汉城市圈城际铁路，实现了武汉城市圈内半小时经济圈体系.据悉一辆城际列车满 载时约为550 人，人均票价为4 元，十分适合城市间的运营.城际铁路运营公司通过一段时间的营业发现，每 辆列车的单程营业额 （元）与发车时间间隔（分钟）相关；当间隔时间到达或超过12 分钟后，列车均为 满载状态；当 时，单程营业额 与 成正比；当 时，单程营业额会在 时的基础上减少，减少的数量为 . （1）求当 时，单程营业额 关于发车间隔时间的函数表达式； （2）由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均 次单程运营.为体现节能减排，发车间 隔时间 ，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额 最大？求出该最大值. 22.（本小题满分12 分）已知函数 ， ， 是常数. （1）若 恒成立，求 的取值范围； （2）设函数 ，试问，函数 是否有零点，若有，求 的取值范围；若没有，说明 理由. 2022~2023 学年度第一学期期末质量检测 高一数学试卷参考答案 一、选择题： 1.B 2.A 3.B 4.C 5.C 6.D 7.D 8.A 二、多项选择题： 9.BCD 10.AB 11.ABD 12.BD 三、填空题： 13. 14. 15.2 16.33 （北京）股份有限公司 四、解答题： 17.解：（1） ∴ ∴原不等式解集 （2） 18.设经过min 分针就与时针重合， 为两针重合的次数. 因为分针旋转的角速度为 ，时针旋转的角速度为 ，所以 ，即 . （2）因为时针旋转一天所需的时间为 （min），所以 ，于是 .故时针与 分针一天内只重合22 次. 19.（1）因为 ，且 ，所以 ，由此得 （2）由 知 ，即 由于 ，得 ，与此同时 ，所以 由平方关系解得： ， （北京）股份有限公司 20.（1）当 时， ，此时 （2）定义域为 由偶函数的定义得恒有 即： 也就是恒有 所以 当 ， 又 在 单调递增，∴ ， 故 在 上值域 . 21.（1）当 时，设 ， 由 时满载可知 ，则 则 （北京）股份有限公司 （2） ， 化简得 ， 令 ，则 当 ，即 时， 22.（1）若 恒成立，即恒有 设 ，任取 ，且满足 ，由于 ， 由不等式性质可得 ，即 ，所以函数 在 上单调递减 所以 ，即 （2）由题意可知 ，即 设 ，问题转化为求 的最小值， 由题意可知 ，此时 ，此时没有零点. （北京）股份有限公司