江西省智学联盟体2022-2023学年高二下学期第二次联考数学试题+Word版含解析

江西智学联盟体2022-2023 学年高二第二次联考 数学 命题学校：宜春中学 命题人：钟文峰 蔡乐祥 审题人：邓必雪 （考试时间：120 分钟 满分：150 分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3．考试结束后，将答题卡交回。 一、单项选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．已知函数 ，则 的导数 （ ） A． B． C． D． 2．若数列为 ， ， ， ，…，则 是这个数列的（ ） A．不在此数列中 B．第25 项 C．第26 项 D．第27 项 3．一质点按运动方程 作直线运动，则其从 到 的平均速度为（ ） A． B． C． D． 4．若数列 满足 ， ，且 ，则 （ ） A．0 B．1 C． D．100 5．某中学在高一年级抽取了720 名同学进行身高调查，已知样本的身高（单位：cm）服从正态分布 ，且身高为165cm 到175cm 的人数占样本总数的 ，则样本中175cm 以上的人数约为（ ） A．30 B．60 C．120 D．20 6．3 月15 日是国际消费者权益日．中央电视台特地推出3.15 公益晚会，曝光了食品、医美、直播等多领域 乱象，在很大程度上震慑了一些不良商家，也增强了消费者的维权意识．一名市民在某商店买了一只灯泡， 结果用了两个月就坏了，他拨打了12315 投诉电话．通过调查，发现该商店将一些不合格灯泡混入一批合格 灯泡中以次充好卖给顾客．假设合格灯泡在使用1000 小时后损坏的概率为0.004，不合格灯泡在使用1000 小 时后损坏的概率为0.4，若混入的不合格灯泡数占灯泡总数的25%，现一顾客在该商店买一只灯泡，则该灯泡 在使用1000 小时后不会损坏的概率为（ ） A．0.103 B．0.301 C．0.897 D．0.699 7．若一个三位数M 的各个数位上的数字之和为7，则我们称M 是一个“happy 数”，例如“223，520”都是 “happy 数”．那么“happy 数”的个数共有（ ） A．25 个 B．28 个 C．29 个 D．36 个 8．若 ， 是函数 （ ， ）的导函数的两个不同零点，且 ， ，2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 （ ） A． B． C． D．4 二、多项选择题：本大题共4 个小题，每小题5 分，满分20 分．在每小题给出的四个选项中， 有多项是符合题目要求的，全部选对得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分． 9．关于 的展开式，下列说法正确的是（ ） A．不存在常数项 B．含 项的系数为45 C．第4 项与第8 项的二项式系数相等 D．偶数项的二项式系数和为256 10．设 为 的导函数，下列命题正确的有（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D ． 若 ， 则 ， 且 11．某学校共有6 个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐（选择到每个餐厅概 率相同），则下列结论正确的是（ ） A．四人去了四个不同餐厅就餐的概率为 B．四人去了同一餐于就餐的概率为 C．四人中恰有2 人去了第一餐厅就餐的概率为 D．四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为 12．等差数列 与 的前n 项和分别为 与 ，且 ，则（ ） A．当 时， B． C． D． ， 三、填空题：（每小题5 分，共4 小题，合计20 分） 13．设随机变量X 的分布列如下（其中 ），则随机变量X 的期望 ________ X 0 1 2 P a 14．已知直线 是曲线 的一条切线，则实数 ________． 15．5 名同学从左向右站成一排，已知甲站在正中间，则乙不站在最右端的概率是________． 16．已知数列 满足 ， ，若 ，则 ________． 四、解答题（本大题共6 小题，请写出必要的文字说明和解答过程，共70 分） 17．（本小题满分10 分）向日葵游乐园最近推出一款“摩天飞毯”游乐项目，游客可以购票乘坐“摩天飞 毯”到达山顶玻璃桥进行游走观光．为了解购票人数与票价的关系，游乐园进行了连续5 天的票价浮动试运 营．这五天每天的票价 （元）与对应购票人数 （人）如下表所示： 票价x（元/每人） 6 8 10 12 14 当天购票人数y（人） 110 90 80 70 50 （1）根据数据，求出y 关于x 的回归方程； （2）假设游乐园每天“摩天飞杽”的项目成本只跟当天的乘坐人数有关，并且人均成本是1 元，试依据 （1）中的关系，求出当票价 应定为多少元，游乐园才能在该项目上获得最大利润．（注：利润= 售票收入-成本） 附：回归方程 中 ， ． 参考数据： ， ． 18．（本小题满分12 分）已知数列 为等差数列，数列 为正项等比数列，且满足 ， ， ． （1）求数列 和 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前n 项和 ． 19．（本小题满分12 分）2022 年11 月21 日第22 届世界杯在卡塔尔开幕，是历史上首次在中东国家举办， 也是第二次在亚洲国家举办的世界杯足球赛．某校“足球社团”调查学生喜欢足球是否与性别有关，现从全 校学生中随机抽取了 人，若被抽查的男生与女生人数之比为5：3，男生中喜欢足球的人数占男 生的 ，女生中喜欢足球的人数占女生的 ．经计算，有95%的把握认为喜欢足球与性别有关，但没有99% 的把握认为喜欢足球与性别有关． （1）请完成下面的列联表，并求出k 的值； （2）将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男学生中随机抽取3 人，记其中喜欢足球的人数为X，求X 的分布列及数学期望． 附： ，其中 ． 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 20．（本小题满分12 分）已知数列 的前n 项和为 ， ， ．数列 的前n 项和 为 ， ， ． （1）求数列 ， 的通项公式； （2）令 ，求数列 的前n 项和 ． 21．（本小题满分12 分）2023 年4 月23 日是第28 个“世界读书日”，某校计划组织“阅百年历程，传精神 力量”主题知识竞赛，有基础题、挑战题两类问题．每位参赛同学回答n 次（ ， ），每次回答 一个问题，若回答正确，则下一个问题从挑战题库中随机抽取；若回答错误，则下一个问题从基础题库中随 机抽取．规定每位参赛同学回答的第一个问题从基础题库中抽取，基础题答对一个得10 分，否则得0 分；挑 战题答对一个得30 分，否则得0 分．已知小明能正确回答基础类问题的概率为 ，能正确回答挑战类问题的 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 女生 合计 概率为 ，且每次回答问题是相互独立的． （1）记小明前2 题累计得分为X，求X 的概率分布列和数学期望； （2）记第k 题小明回答正确的概率为 ，（ ，2，…，n），证明：当 时， ，并 求 的通项公式． 22．（本小题满分12 分）小明同学是班上的“数学小迷精”，高一的时候，他跟着老师研究了函数 当 时的图象特点与基本性质，得知这类函数有“双钩函数”的形象称呼，感觉颇有趣味． 后来，他独自研究了函数 当 时的图象特点与基本性质，发现这类函数在y 轴两边“同升同 降”，且可以“上天入地”，他高兴地把这类函数取名为“双升双降函数”．现在小明已经上高二了，目前 学习了一些导数知识，前些天，他研究了如下两个函数： 和 ．得 出了不少的“研究成果”，并且据此他给出了以下两个问题，请你解答： （1）当 ， 时，经过点 作曲线 的切线，切点为P． 求证：不论p 怎样变化，点P 总在一个“双升双降函数”的图象上； （2）当 ， ， 时，若存在斜率为1 的直线与曲线 和 都相切，求 的最 小值． 江西智学联盟体2022-2023 学年高二第二次联考 数学参考答案及解析 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C D A B C B A ABC BCD ACD AB 一、单项选择题 1．【解析】由求导公式与求导法则，可得 ，选B． 2．【解析】设数列7，10，13，16，…，为数列 ，则数列 是以7 为首项3 为公差的等差数列，其通 项公式为 ，令 解得 ，选C． 3．【解析】从 到 的平均速度为 ，选D． 4．【解析】数列 的项为0，1，1，0， ， ，0，1，…，是以6 为周期的周期数列， ， 选A． 5．【解析】正态分布 的均值 ，依题意，身高在区间 的概率为 ，则身高 在区间 上的概率 ，则样本中175cm 以上的同学人数约为 人，选B． 6 ．【解析】由全概率公式，可得任取一零件，它是合格品的概率为 ，选C． 7．【解析】依题意，构成一个“happy 数”的数字组合可能为 ， ， ， ， ， ， ， ，这些组合能组成“happy 数”的个数分别为1， ， ，3， ， ，3，3，相加得28，选B． 8．【解析】∵ ∴ ， ，所以 ， 为两个不等的负数，不 妨设 ，则必有 ， ，2 成等差数列， ，2， 成等比数列，故有 ， ， 解得 ， ，可得 ， ， ，选A． 二、多项选择题 9．【解析】 的展开式通项为 ， ，1，…，10 令 ， 解得 ，故展开式不存在常数，A 正确；令 ，解得 ，故含 项的系数为 ，B 正确；第4 项与第8 项的二项式系数分别为 与 ，相等，C 正确；偶数项的二项式系数和 为 ，D 错误；选ABC． 10．【解析】对于A，∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ， ，故A 错误； 对于B， ，可得 故B 正确；对 于C， ，则 ，故C 正确； 对 于 D ， 若 ， ，故D 正确；选BCD． 11．【解析】对于A，四人去了四个不同餐厅就餐的概率为 ，故A 正确； 对于B，四人去了同一餐厅就餐的概率为 ，故B 错误； 对于C，四人中恰有2 人去了第一餐厅就餐的概率为 ，故C 正确； 对于D，四人中每个人去第一餐厅就餐的概率都为 ，设四人中去第一餐厅就餐的人数X，则 ， 故 ，故D 正确． 故选：ACD． 12．【解析】对于A，等差数列 与 的前n 项和分别为 与 ，且 ， 当 时， ，∴ ， ∴ ， ， ， 当 时，上式成立，∴ ，故A 正确； 对于B，由 ，知 ， ∴ ，故B 正确； 对于C，同理可得： ，故C 错误； 对于D，当 时， ，则 ， 则不存在 ，使 ，故D 错误． 故本题选AB． 三、填空题 13．【答案】1 【解析】由 ，得 ，∴ ． 14．【答案】 【解析】令 ，观察得 （由单调性可知其唯一），切点坐标为 ，代入 得 ． 15．【答案】 【解析】记“甲站在中间”为事件A，“乙不站在最右端”为事件B，则 ， ，所以 ． 16．【答案】 【 解 析 】 由 得 所以，数列 是以4 为公差的等差数列， ∴ 解得 ． 四、解答题 17．解：（1） ， ．……1 分 ∴ ，……3 分 ，……4 分 ∴回归方程为 ．……5 分 （2）设游乐园能获得利润z 元，则 ，……6 分 ∴ ， ．……8 分 由二次函数知识可得， 当 元时，z 取得最大值 “ ∴摩天飞毯”票价应定为11 元，游乐园才能在该项目上获得最大利润．……10 分 18．解：（1）设数列 的公差为d，数列 的公比为 ，则 ， ，解 得 ……4 分 于是可得 ， ……6 分 （2）由（1）可得 ……7 分 ∵ ……9 分 数列 的前n 项和为 ……12 分 19．（1）由已知，完成列联表， 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 15k 10k 25k 女生 5k 10k 15k 合计 20k 20k 40k ……2 分 将数值代入公式可得 的观测值： ， 根据条件，可得 ，解得 ，……4 分 因为 ，所以 ．……6 分 （2）由（1）知，样本的男生中喜欢足球的频率为 ，用样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人，喜欢 足球的概率为 ， 则 ，……7 分 ， ， ， ， 则X 的分布列为 X 0 1 2 3 P ……10 分 ．……12 分 20．解：（1）由 ， 可解得 ，……1 分 且 可化为 ，……3 分 所以数列 为常数数列， ∴ ∴ ……4 分 又由 ， 得 ， 所以数列 是以1 为首项，2 为公比的等比数列， ∴ ……7 分 （2）由（1）得 则 ①， ②，……8 分 - ①②得 ……11 分 化简整理得， ……12 分 21．解：（1）依题意，X 的可能取值为0，10，40，……1 分 ； ； ． 所以X 的概率分布为 X 0 10 40 P 所以， ．……6 分 （2）当 时，分两种情形： ①若第 次回答正确，则第k 次回答挑战题，这种情形下第k 次回答正确的概率为 ； ②若第 次回答错误，则第k 次回答基础题，这种情况下第k 次回答正确的概率为 ．……8 分 所以 ，得证．……9 分 所以 ，因为 ， ， 所以 是以 为首项， 为公比的等比数列．……11 分 所以 ， 即 ．……12 分 22．解：（1）当 ， 时， ， ，……1 分 设 ，切线方程为 ，……3 分 代入 ，得 ，又因为 ， 于是可得 ， 即点P 在“双升双降函数” 的图象上。……6 分 （2）当 ， 时， ， ， ，……7 分 设曲线 在点 处的切线斜率为1， 则 ，所以 ，则 ，……8 分 设曲线 在点 处的切线斜率为1，则 ， 所以 ，点 ……9 分 所以直线AB 的斜率 ，所以 ，……10 分 由于 ， 所以 （当 时取等） 所以， 的最小值为 ．……12 分