2021-2022年第二学期高一下期中考试试卷

佛山一中2021-2022 学年第二学期高一级期中考试试题 数学 命题人：陈豪、陈诗茵 审题人：吴统胜 2022 年5 月 本试卷共8 页，18 小题，满分150 分，考试时间150 分钟. 第一部分选择题（共60 分） 一、单选题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的.） 1．复数 1  i z i （i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2．已知向量 (2 , 1) m a    ， (3, 2) n a    ，若m n   ，则  a （ ） A. 1 B. 3 5 C. 1 3 D. 2 5 3.一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形 ' ' ' A B O 如右图所示，若 ' ' 1 O B ，那么原ABO  的面积是（ ） A. 2 2 B. 2 C. 2 2 D. 4 2 4.已知角的终边过点  1, 1  ，则cos( ) 2    （ ） A. 2 2  B. 2 2 C. 1 2  D. 1 2 5.在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 2 cos 2 2 A b c c   ，则△ABC 是（ ） 第3 题 A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 6. 函数 ( ) sin( )( 0, 0,| | ) 2 f x x A           的部分图象如 图所示，则（ ） A． ( ) sin(4 ) 3 f x x    B． ( ) sin(4 ) 6 f x x    C． ( ) sin(2 ) 3 f x x    D． ( ) sin(2 - ) 3 f x x   7.在 ABC  中，已知 2 2 2 AC AB AM BC    � ，则动点M 的轨迹必通过 ABC  的（ ） A. 垂心 B. 内心 C. 重心 D. 外心 8. 第6 题 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器， 当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那 一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2 是一个根据北京的地理 位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即 ABC  ）为26.5 ， 夏至正午太阳高度角（即 ADC  ）为73.5 ，圭面上冬至线与夏至线之间的距 离（即DB 的长）为a，则表高（即AC 的长）为（ ） A. sin53 2sin47 a   B. 2sin47 sin53 a   C. tan26.5 tan73.5 tan47 a    D. sin26.5 sin73.5 sin47 a    二、多选题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.） 9. 已知下列四个命题为真命题的是（ ） A. 已知非零向量, , a b c   ，若// , // a b b c   ，则// a c  B. 若四边形ABCD 中有AB DC  � ，则四边形ABCD 为平行四边形 C. 己知   1 1, 2 e   � ，   2 2,4 e  � ， 1 2 , e e � 可以作为平面向量的一组基底 D. 已知向量 ( 1,1) a   ， (3,1)   b ，则b  在a  方向上的投影向量的模为 2 10.已知角A，B，C 是ABC  的三个内角，下列结论一定成立的有（ ） A. 若sin 2 sin 2 A B  ，则ABC  是等腰三角形 B. 若sin sin A B  ，则A B  C. 若ABC  是锐角三角形，则sin cos A B  D. 若 3 AB  ， 1 AC ， 30 B  ，则ABC  的面积为 3 4 或 3 2 11.设 ( , ) z a bi a b R   ，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若 z z R  ，则 z R  B. 若 0 b  ，则 z z = C. 若 2 z 为纯虚数，则 0 a b  D. 若z i 与2 z i 都是实数，则 5 z  12.设函数  sin( )( 0) 5 f x x       ，若  f x 在  0,有且仅有5 个最值点，则 （ ） A．  f x 在  0,有且仅有3 个最大值点 B．  f x 在  0,有且仅有4 个零点 C．的取值范围是 43 53 [ , ) 10 10 D．  f x 在(0, ) 20  上单调递增 第二部分非选择题（90 分） 三、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.） 13.已知 (0, ) x   ,则不等式tan 1 x 的解集为___________. 14.若锐角, 满足 4 3 cos ,cos( ) , 5 5       则sin 的值是___________. 15.已知点D 是 ABC  所在平面上一点，且满足 1 2 BD BC  � ，设 AD AB AC     � ，则   ___________. 16.正方形ABCD 的边长为2，O 是正方形ABCD 的中心，过中心O 的直线l 与边 AB 交于点M ，与边CD 交于点N ，P 为平面内一点，且满足   2 1 OP OB OC      � ，则PM PN  � 的最小值为___________. 四、解答题（本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.） 17．（本题10 分）已知复数 2 2 ( 1)i( ) z m m m m      R ． （1）若z 为纯虚数，求实数m 的值； （2）若z 在复平面内对应的点在直线 5 1 0 x y  上，求z ． 18．（本题12 分）在ABC  的内角 , , A B C 所对的边分别为, , a b c ，已知ABC  的面积为S ，且 2 2 4 3( 4) S b c    ， 2 a ． （1）求角A 的值; （2）若ABC  的面积为3 ，求ABC  的周长． 19．（本题12 分）某同学用“描点法”画函数  2sin 2 1 3 f x x           在区间 [ , ] 2 2   上的图象时，列表并填入了部 分数据，如下表： (1)请将上表数据补充完整，并在给出的 直角坐标系中，画出 f x 在区间 [ , ] 2 2   上的图象； (2)利用函数的图象，直接写出 函数 ( ) f x 在x R  上的单调递增 区间； (3)将  y f x  图象上所有点向左平移  0  个单位长度，得到  y g x  的图 象，若  y g x  图象的一个对称中心为 5 ( ,1) 12 ，求的最小值. 20．（本题12 分） 如图，在梯形ABCD // , , 2, 3 3 AB CD BAD AB AD CD      , AE AB   � . （1）若AC DE  � ，求的值； （2）若 1 2  ，求AC � 与DE � 的夹角的正切值. 21.（本题12 分）如右图，在△ABC 中，AB AC  ， 4 AB AC  ，点E ，F 是线 第20 题 段BC （含端点）上的动点，且点F 在点E 的右下方，在运动的过程中，始终保 持 4 EAF    不变，设 EAB   ． (1)写出的取值范围，并分别求线段AE ，AF 关于的函数关系式； (2)求△EAF 面积S 的最小值． 22．（本题12 分）已知函数    sin cos 4sin 2 9 f x a x x x     ，且 13 9 2 4 f         . （1）求a 的值； （2）求出 f x 的最小正周期，并证明；（“周期”要证，“最小”不用证 明） （3）是否存在正整数n ，使得 f x 在区间  0,n 第21 题