浙江省9+1高中联盟2022-2023学年高二上学期11月期中数学试题

2022 年学年第一学期9+1 高中联盟期中考试 高二年级数学学科试题 一、选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的， 不选、多选、错选均不得分） 1．设集合 ， ，则 等于（ ） A． B． C． D． 2．若 ， ，则“复数 为纯虚数（㖷虚数单位）”是“ ”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．向量 ， 分别是直线 ， 的方向向量，且 ， ，若 ，则 （ ） A．12 B．14 C．16 D．18 4．已知定义域为 的奇函数 ，满足 ，且当 时， ，则 的值为（ ） A． B．0 C．1 D．2 5．若圆锥的表面积为 ，其侧面展开图为一个半圆，则下列结论正确的为（ ） A．圆锥的母线长为1 B．圆锥的底面半径为2 C．圆锥的体积为 D．圆锥的侧面积为 6．在三棱锥 中， ，且 ， ， 分别是棱CD，AB 的中点，则EF 和AC 所成 的角等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 7．已知 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 8．在正方体 中，点 满足 ，且 ，直线 与 平面 所成角为 ，若二面角 的大小为 ，则 的最大值是（ ） A． B． C． D． 二、选择题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．每小题列出的四个备选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分） 9．设m，n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题正确的有（ ） A．若 ， ， ， ，则 B．若 ， ，则 C．若 ， ，则 D．若 ， ， ，则 10．已知 ，对于 ， ，下述结论正确的是（ ） A． B． C． D． 11．已知 ， 双曲线 的两个焦点， 为双曲线 上任意一点，则（ ） A． B． C．双曲线 的离心率为 D．双曲线 的渐近线方程为 12．在正三棱锥 中， ， ， ， ，分别为BC，PC 的中点，若点 是此三棱锥表 面上一动点，且 ，记动点 围成的平面区域的面积为 ，三棱锥 的体积为 ，则（ ） A．当 时， B．当 时， C．当 时， D．当 时， 三、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13．将函数 的图象向右平移 个单位长度后的图象过原点，则 的最小值______． 14．若点 在幂函数 的图象上，则 的值为______． 15．已知四面体ABCD 中， ， 平面 ， 平面ABD，则四面体ABCD 外 接球的半径是______． 16．已知 ， 分别是椭圆 的左石焦点， 是椭圆 上一点，若线段 上有 且中点 满足 （其中 是坐标原点），则椭圆 的离心率是______． 四、解答题（本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分10 分） 已知圆 的圆心在 轴上，且经过点 ， ． （1）求圆 的标准方程； （2）若过点 的直线与圆 相交于M，N 两点，且 ，求直线的方程． 18．（本题满分12 分） 已知函数 ． （1）求函数 的值域； （2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 19．（本题满分12 分） 某校对2022 学年高二年级上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100 名学生，将分数按 照 ， ， ， ， ， 分成6 组，制成了如图所示的频率分布 直方图： （1）估计该校高二年级上学期期中数学考试成绩的第80 百分位数； （2）为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在 和 的两组中，用 按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5 名学生，再从这5 名学生中随机抽取2 名学生进行问卷调查，求抽 取的这2 名学生至少有1 人成绩在 内的概率． 20．（本题满分12 分） 已知四棱锥 中， ， ， ， ， ， ． （1）求证： ； （2）求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值． 21．（本题满分12 分） 在① ，② 这两个条件中任选一个，补充 在下面的横线上，并加以解答． 已知 的内角A，B，C 的所对的边分别为a，b，c，______． （1）若 ，求 ； （2）求 的最大值． 22．（本题满分12 分） 已知点 在圆 上运动，过点 作 轴的垂线段PQ，Q 为垂足，动点 满足 ． （1）求动点 的轨迹方程 ； （2）过点 的动直线与曲线 交于A，B 两点，与圆 交于C，D 两点． （i）求 的最大值； （ii）是否存在定点T，使得 的值是定值？若存在，求出点 的坐标及该定值；若不存在，请说明理 由． 2022 年学年第一学期9+1 高中联盟期中考试 高二数学参考答案 一、单选题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的， 不选、多选、错选均不得分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 ৪ 答 案 D B B A C B A C 二、多选题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选 对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分） 题 号 9 10 11 12 答 案 BD A C BC ACD 三、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13． 14．4 15．1 16． 四、解答题（本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解：（1）设圆 的标准方程为 ，其中 ，半径为 ， 记线段AB 中点为 ，则 ， 又直线AB 的斜率为1，由条件得线段AB 中垂线CD 方程为 ， 由圆的性质，圆心 在直线CD 上，化简得 ， 所以圆心 ， ，所以圆 的标准方程为 ． （2）设 为MN 中点，则 ，得 ， 圆心 到直线的距离 ， 当直线的斜率不存在时，的方程 ，此时 ，不符合题意，舍去． 当直线的斜率存在时，设的方程 ，即 ， 由题意得 ，解得 或 ， 故直线的方程为 或 ，即 或 ， 综上直线的方程为 或 ． 18．解：（1）因为 定义域为 ， 则 ， 设 ， ， 所以 值域为 ． （2）因为 ， 所以 ， 设 ，则原问题化为对任意 ， ，即 ， 因为 ，当且仅当 ， 时，取到最小值， 所以 ． 19．解：（1）由 ， 可得 ． 样本数据中数学考试成绩在110 分以下所占比例为 ， 在130 分以下所占比例为 ， 因此，第80 百分位数一定位于 内，由 ， 所以样本数据的第80 百分位数约为115． （2）由题意可知， 分数段的人数为 （人）， 分数段的人数为 （人）． 用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5 名学生，则需在 内抽取2 人，分别记为 ， ， 内抽取3 人，分別记为x，y，z， 设“从样本中抽取2 人，至少有1 人分数在 内”为事件 ，则样本空间为 共包含10 个样本点， 而事件 ，包含7 个样本点， 所以 ，即抽取的这2 名学生至少有1 人成绩在 内的概率为 ． 20．解：（1）在梯形ABCD 中， ， ， ， ， 可算得 ，所以 ， 在 中， ， ，满足 ， 所以 ，所以 面PBD，所以 ． （2）由（1）证明可知，面 面ABCD，取BD 中点 ，连OP，OC， 因为 ，所以 ， 面PBD，所以 就是PC 与平面PBD 所成的角， 在 中，易得 ， 在 中， ， ，计算可得 ， 所以 ， 所以求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为 ． 解法2：由（1）证明可知，面 面ABCD，通过计算可得 ， 建立以 ， 为 轴， 轴的正方向，以过 与平面ABCD 垂直的向量为 轴的正方向建立如图空间直 角坐标系，则 ， ， ， ， 所以 ， ， ， 设平面PBD 的法向量为 ， 则 ，即 ， 取 ， 设直线PC 与平面PBD 所成角为 ，则 ， 所以求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为 ． 21．解：（1）若选①，由正弦定理可得， 当 时，代入得， ， 整理可得 ， ， 在 中， ，所以 ，所以 ， 所以 ，所以 ． 若选②，当 时，代入得， ， ， ， 又因为 ， ，所以 ，所以 ． （2）若选①，因为 ， 所以 ， ， ， 在 中， ， ，所以 ． 选②，因为 ， 所以 ， ， ， 在 中， ， 所以 ， ， 由 ，及 在 上递减，可得 ，进一步得 ， 所以 ， 所以 ， 设 ，则 ， ， 当 时， 最大值为 ． 22．解：（1）设点 ， ， 因为 ，所以 ，所以 ， 即动点 的轨迹 的方程为 （2）（i）①当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，联立方程组 ， 可得 ，则 恒成立， 且 ， ， ， ， 所以 ， 设 ，则 ， 则 ，得 ， 当且仅当 时取到，此时 最大值是16． ②当直线的斜率不存在时，则直线为 ，可得 ， ， 此时 ，综上， 最大值是16． （ii）当直线的斜率存在时，设 ， ， ，可得， 要使得上式为定值，即与 无关，则满足 且 ， 解得 ， ，即点 ，此时 ， 当直线的斜率不存在时，直线为 ，解得 ， ，所以 ， 综上可得，存在定点 ，使得 ．