江西省2022-2023学年高二上学期12月统一调研测试数学试卷

（北京）股份有限公司 绝密★启用前 江西省2022—2023 学年高二年级12 月统一调研测试数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其 他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.抛物线 y=−1 2 x 2 的焦点坐标为 A ( -1,0) B. (−1 2 ,0) C.( 0,-1) B.(0,−1 2) 2.过点(2.3)且一个方向向量为(1，-1)的直线方程为 A.x+y-5=0 B.x+y-1 =0 C.x-y+1 =0 B.x-y-5=0 3.已知点P 为△ABC 所在平面内一点，O 为平面ABC 外一点，若 ⃗ OP=m⃗ OA+n⃗ OB+2⃗ OC 则m+n 的值为 A.1 B.- 1 C.2 D.-2 4.为了深入贯彻党中央“动态清零”的疫情防控要求，更好地开展常态化疫情防控核酸检测服务工作，现选派5 名党员志愿者参加 星期一至星期五(每人一天)的值日，协助免费采样工作.根据大家的时间安排，志愿者中的A 必须排在B 前面值日，则不同的安排方 法种数为 A.36 B.60 C.118 D.120 5.已知圆0₁:x²+y²=4 和圆 O₂:( x-1)²+( y+1)²=a 的公共弦所在直线经过原点，则实数a 的值为 A.6 B.4 C.-6 D.-4 6.已知直线l:xsin α+ycosα=2(α∈R)与圆O:x²+y²=16 相交于A，B 两点，则△AOB 的面积为 A.2 B.2❑ √3 C.4.13 D 与α 有关的不确定值 7.如图，在长方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中,. AB=BC =2AA₁ , 当 ⃗ A1C=λ A1⃗ P时,有D₁P∥平面BDC₁,则实数λ 的值为 A.1 B.2 C.3 D . 5 2 数学 第1 页(共4 页) （北京）股份有限公司 8.已知点 A (0,2❑ √2),B (2❑ √2,0),点P 为圆 x 2+ y 2−5 ❑ √2 x+❑ √2 y+12=0 上一点,则PA|-|PB|的最小值为 A.2 B.4 C . 4 ❑ √5 5 D . 8 ❑ √5 5 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9.已知平面α 的一个法向量为m=(3,x,-x),平面β 的一个法向量为n=(2,x,5),若α⊥β,则实数x 的值可能为 A.1 B.2 C.3 D.4 10.对于曲线 C : x 2 8−k − y 2 k −2=1, 下列说法正确的有 A.曲线C 不可能是圆 B.曲线C 可以表示焦点在y 轴上的双曲线 C.若k>8,则曲线C 为椭圆 D.若曲线C 为双曲线,则2 11.已知空间四边形OABC 的各边及对角线AC，OB 的长度均相等，E，F 分别为OA，BC 的中点，则 A .⃗ OF⃗ BE B.⃗ OA ⊥⃗ BC C .2⃗ EF=⃗ OB+⃗ OC −⃗ OA D .cos (⃗ CE ,⃗ BF )= ❑ √3 3 12.如图,椭圆 C : x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 (a⟩b>0) 的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，且AB⊥BF，则C 的离心率为 A .¿ BF∨ ¿ ¿ AF∨¿¿ ¿ B. ¿ AB¿ 2 ¿ AF ¿ 2 C .¿ AF∨⋅∨BF∨ ¿ ¿ AB¿ 2 ¿ D . ❑ √5−1 2 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13.已知直线x+ my-2=0 在两坐标轴上的截距相等,则实数m 的值为 . 14.已知双曲线C : x 2 2 −y 2 b 2 =1 (a⟩0,b>0) 的焦距为4，焦点到C 的一条渐近线的距离为1，则C 的渐近线方程为 15.设n∈N⁺,且19² ²² ⁰ +n 能被6 整除，则n 的值可以为 .(写出一个满足条件的n 的值即可) 16.“双减”政策实施以来，各地中小学纷纷开展丰富的课后活动.某校积极开展各种棋类益智活动 某项单人跳棋游戏的规则如下：如图所示，棋子的初始位置为①处，玩家每掷出一枚骰子，朝上 一面的点数即为棋子沿棋盘实线顺时针方向前进的格子数，即玩家掷出的点数为。 i (i=1,2,⋯,6),，则棋子就按顺时针方向前进i 个格子、一直循环下去，现在已知小明同学抛掷 3 次骰子后棋子恰好又回到起点①处，则其不同的走法数为 .(用数字作答) （北京）股份有限公司 四、解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(10 分)已知椭圆 x 2 12 + y 2 3 =1 的左、右焦点分别为F₁，F₂，动点M 满足|| MF₁ | -| MF₂|| =4. (1)求动点M 的轨迹C 的方程： (2)已知点A(-2,0),B(2,0),当点M 与A,B 不重合时,设直线MA,MB 的斜率分别为k₁,k₂,证明:k 为定值. 18.(12 分)已知二项式 (x+ a ❑ √x) n (n∈N ∗) 的展开式中 ， .给出下列条件：①第二项与第三项的二项式系数之比是 1：4；②各项系数之和为512；③第7 项为常数项. 在上面三个条件中选择两个合适的条件分别补充在上面的横线上，并完成下列问题. (1)求实数a 的值和展开式中二项式系数最大的项； (2)求 (x ❑ √x−1)(x+ a ❑ √x) n 的展开式中的常数项. 注：如选择多个组合分别解答，按第一个组合计分. 19.(12 分)如图,在四棱锥A-BCDE 中,底面BCDE 是边长为2 的菱形,△ADE 是等边三角形,∠BED=60°,平面ADE,⊥ 平面BCDE,点F 为AE 的中点. (1)证明:AC∥平面BDF; (2)求平面ADE 与平面ABC 所成角的大小. （北京）股份有限公司 20.(12 分)古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值λ(λ>0 且λ≠1) 的点所形成的图形是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆. 已知点A(0 ，6) ，B(0.3) 、动点M 满足 ¿ MA∨ ¿ ¿ MB∨¿=1 2 ,¿ ¿ 记动点M 的轨迹为曲线C， (1)求曲线C 的方程； (2)过点N(0、4)的直线l 与曲线C 交于P，Q 两点，若P 为线段NQ 的中点，求直线l 的方程. 21.(12 分)在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 中，点B₁ 在底面ABC 的射影为边BC 的中点△ABC 为正三角形，侧面AA₁B₁B 与底面 ABC 所成角的正切值为2， (1)证明:AB₁⊥A₁C; (2)求直线A₁C 与平面AB₁C 所成角的正弦值. 22.(12 分)已知椭圆C: x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 (a⟩b>0) 的左、右焦点分别为F₁，F₂，点P 是椭圆C 上任意一点，且|PF₁|的最大值 为3,|PF₂|的最小值为1. (1)求椭圆C 的方程； (2) 过点M(3 ，0) 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，过点M 且与直线l 垂直的直线与y 轴交于点N ，当 ¿ AB∨ ¿ ¿ MN∨¿¿ ¿取得最大值时，求直线l 的方程.