浙江省杭州第二中学等四校联盟2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题

2022 学年第二学期四校联盟期中考试试卷 高二年级数学学科 命题：浙江省杭州第二中学 本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150 分，考试时间120 分钟. 考生须知： 1.本卷满分150 分，考试时间120 分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写学校､班级､姓名､试场号､座位号及准考证号； 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题卷. 第I 卷（选择题） 一､选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中， ，则 的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. -1 2. 已知等比数列 的公比 ，前3 项和为 ，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 3. 第19 届亚运会将于今年在杭州举行.你在西湖边遇到了志愿者装扮的吉祥物“琮琮”､“莲莲”和“宸宸”.假如 你要和三个吉祥物一起拍合照,且你不希望站在两端,则共有( )种不同的站法. A. 24 B. 18 C. 12 D. 9 4. 如图，在正方体 中，棱长为2，点 分别为棱 ､ 中点，则点 到平面 的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 5. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ） A. 一定有极大值 B. 当 时， 有极小值 C. 当 时， 可能无零点 D. 若 在区间 上单调递增，则 6. 已知圆 关于直线 对称，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 7. 已知 ，则 的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线 ，以右顶点 为圆心，为半径的圆上一点 （ 不在 轴上）处的切线与 交于 两点，且 为 中点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9. 已知 的二项展开式各项系数和为32，则下列说法正确的是（ ） A. B. 含 的项系数为90 C. 第3 项的二项式系数为10 D. 常数项为1 10. 已知函数 ，则（ ） A. B. 是周期函数 C. 在 单调递减 D. 11. 已知数列 满足 ，其中 是给定的实数.设 ， 以下判断正确的是（ ） A. 是 等差数列 B. C. 的通项公式为 D. 数列 的最小项是 12. 二次曲线 ，则下列选项正确的是（ ） A. 曲线 关于 轴对称 B. 曲线 在 处的切线为 C. 曲线 与直线 有两个交点 D. 曲线 与圆 有四个交点 第II 卷（非选择题） 三､填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. “杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发引一组平 行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，则第10 条斜线上，各数之和为__ ____. 14. 椭圆 ，直线 与椭圆截得的 弦的中点分别为 ，则椭圆的上顶点到直 线 的距离为__________. 15. 从1，2，3，4，5，6，7，8 中依次取出4 个不同的数，分别记作 ，若 和 的奇偶性 相同，则 的取法共有__________种（用数字作答）. 16. 已知不等式 恒成立，则 的取值范围为__________. 四､解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 设数列 满足 ，等比数列 满足 ， . （1）求 、 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 . 18. 已知函数 . （1）求曲线 在 处的切线方程； （2）方程 恰有两个不同的实根，求 的取值范围. 19. 为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全，海事部门在某平台 的正东方向设立了两个观 测站 和 （点 在点 ､点 之间），它们到平台 的距离分别为1 海里和4 海里，记海平面上到两观 测站的距离 之比为 的点 的轨迹为曲线 ，规定曲线 及其内部区域为安全预警区（如图）. （1）以 为坐标原点，1 海里为单位长度， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，求曲线 的方程； （2）海平面上有巡航观察点 可以在过点 垂直于 的直线 上运动. （i）若 为 的中点，求 的最小值； （ii）过 作直线 与曲线 相切于点 .证明：直线 过定点. 20. 如图，在四棱台 中，底面 是菱形， ，梯形 底面 ， .设 为 的中点. （1）求证： 平面 ； （2） 上是否存在一点 ，使得 与平面 所成角余弦为 ，请说明理由. 21. 已知 是抛物线 上一点， 是 的焦点， . （1）求 的方程； （2）设 ，直线与 交于 ，若 的重心在 上，求 面积的最大值. 22. 已知函数 . （1）求 的单调区间； （2）若函数 的值域为 ，求 的取值范围.