江苏省百校联考2022-2023学年高一上学期12月份阶段检测数学试题

（北京）股份有限公司 江苏省百校联考高一年级12 月份阶段检测 数学试卷 第I 卷（选择题共60 分） 一､单项选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2.使不等式 成立的一个充分不必要条件可以为（ ） A. B. C. D. 3.函数 的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 4.已知幂函数的图象经过点 ，则该幂函数的大致图象是（ ） A. B. （北京）股份有限公司 C. D. 5. 世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法 即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学 家的寿命延长了许多倍”.已知 ，设 ，则 所在的区间为（ ） A. B. C. D. 6.设 是满足 的实数，那么（ ） A. B. C. D. 7.黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小､密度大､吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有 类似的“黑洞”.任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数､奇数的个数以及总的数字 个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串.重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称 它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为 ，则 （ ） A. B. C. D. 8.设函数 若关于 的方程 有四个实根 ，且 ，则 的最小值为（ ） A. B.8 C. D.16 二､多项选择题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项 （北京）股份有限公司 符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9.下列命题为真命题的是（ ） A.不论 取何实数，命题 “ ”为真命题 B.不论 取何实数，命题 ：“二次函数 的图象关于 轴对称”为真命题 C.“四边形 的对角线垂直且相等”是“四边形 是正方形”的充分不必要条件 D.“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件 10.一般地，对任意角 ，在平面直角坐标系中，设 的终边上异于原点的任意一点 的坐标为 ，它与 原点的距离是 .我们规定：比值 分别叫作角 的余切､余割､正割，分别记作 ，把 分别叫作余切函数､余割函数､正割函数.下列叙述正确的有（ ） A. B. C. 的定义域为 D. 11.下列说法正确的是（ ） A.函数 且 的图象恒过定点 B.若关于 的不等式 的解集为 或 ，则 C.函数 的最小值为6 D.若 ，则 12.设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，也叫取整函数.令函数 （北京）股份有限公司 ，以下结论正确的有（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 的值域为 第II 卷（非选择题共90 分） 三､填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13.请写出能够说明“存在两个不相等的正数 ，使得 ”是真命题的一组有序数对： 为__ ________.（答案不唯一） 14.已知 ，则 __________. 15.对于函数 ，若 ，则称 为 的“不动点”，若 ，则称 为 的“稳 定点”.若函数 ，则 的“不动点”为__________，将 的“稳定点”的集合记为 ，即 ，则集合 __________.（本题第一问2 分，第二问3 分） 16.已知正实数 ，则 的最小值为__________. 四､解答题：本大题共6 小题，共70 分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步㖩. 17.（10 分） 已知 ，且满足__________.从① ；② ；③ 这三个条 件中选择合适的一个，补充在上面的问题中，然后作答. （1）求 的值； （2）若角 的终边与角 的终边关于 轴对称，求 的值. （北京）股份有限公司 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18.（12 分） 已知函数 . （1）解关于 的不等式 ； （2）若关于 的不等式 的解集为 ，求 的最小值. 19.（12 分） 在党和政府强有力的抗疫领导下，我国在控制住疫情后，一方面防止境外疫情输人，另一方面逐步复工复产， 减少经济衰退对企业和民众带来的损失.为了进一步增强市场竞争力，某企业计划在2023 年利用新技术生产 某款手机.经过市场分析，生产此款手机全年需投人固定成本250 万，每生产 （单位：千部）手机，需另投 人可变成本 万元，且 由市场调研知，每部手机售价 万元， 且全年生产的手机当年能全部销售完.（利润=销售额一固定成本一可变成本） （1）求2023 年的利润 （单位：万元）关于年产量 （单位：千部）的函数关系式. （2）2023 年的年产量为多少（单位：千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 20.（12 分） 已知函数 对一切实数 ，都有 成立，且 ，函数 . （1）求 的解析式； （2）若 ，求 的取值范围. 21.（12 分） 已知 是二次函数，且满足 . （1）求 的解析式. （2）已知函数 满足以下两个条件： ① 的图象恒在 图象的下方；②对任意 恒成立.求 的最大值. （北京）股份有限公司 22.（12 分） 已知函数 . （1）若方程 有4 个不相等的实数根 .求证： . （2）是否存在实数 ，使得 在区间 上单调，且 的取值范围为 ？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由. 江苏省百校联考高-年级12 月份阶段检测 数学试卷参考答案 1.C 由 ，可得 ，所以 ，由 ，可得 ，所以 ，所以 是 的真子集，所以 . 2.D 不等式可化为 解集为 . 因为  ，所以使不等式 成立的一个充分不必要条件可以为 . 3.C 由 ，得 的定义域为 .令 ，则 在 上单调递 减，而当 时， 为增函数，当 时， 为减函数，故 的单调递增区间是 . 4.D 设幂函数的解析式为 ，因为该幂函数的图象经过点 ，所以 ，即 ，解得 ，即函数 ，也即 ，则函数的定义域为 为偶函数，且 （北京）股份有限公司 在 上为减函数. 5.C 因为 .6644，所 以 . 6.B 对于 ，满足 ，则 ，故A 不正确. 对于B，因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以B 正确. 对于C， ，满足 ，则 ，此时 ，故C 不正确. 对于 ，满足 ，则 ，此时 ，故 不正确. 7.A 根据“数字黑洞”的定义，任取数字2021，经过第一步之后为314，经过第二步之后为123，再变为 123，再变为123，所以“数字黑洞”为123，即 ，则 . 8.B 作出 的大致图象，如图所示. ，其中 .因为 ， 即 ，其中 ，所以 ，当且仅当 时， （北京）股份有限公司 等号成立，此时 .又因为 ，当且仅当 时，等号 成立，此时 ，所以 的最小值是8. 9.ABD 对于 ，关于 的一元二次方程 有不等实根 ，显 然 ，即 ，因此不等式 的解集为 ，当 时， 正确. 对于 ，二次函数 图象的对称轴为 轴，因此二次函数 的图象关于 轴对称， B 正确. 对于 ，对角线垂直且相等的四边形不一定是正方形，反之成立.故 错误. 对于 ，令 ，则 ，令 ，则 ，而 ，故 也不成立，D 正确. 10.ACD 对于 ，故A 正确； 对于 ，故B 错误； 对于C， ，其定义域为 ，故C 正确； 对于D， ，当 时，等号成立，故D 正确. 11.BD 对于A，函数 且 的图象恒过定点 ，故 错误. （北京）股份有限公司 对于 ，关于 的不等式 的解集为 或 ，故必有 解得 进而得到 ，故B 正确. 对于 ，方程无解，等号不成立，故C 错误. 对于 ，所以 ，故D 正确. 12.AC 对于 ，故 正确.对于 ，取 .1，则 ，而 ，故 ，所以 不为奇函数，故B 错误.对于 ，故C 正确.对于 ，由 可知， 为 周期函数，且周期为1，当 时， ，当 时， ，当 时， ；当 时， ，则 的值域为 ，故D 错误. 13.（ ）（答案不唯一） 当 时，满足 ，故这样的有序实数对可以是（ ）. 14. 由诱导公式 ，所以 . 15. （1）令 ，得 或 . （2）由 ，且 ，得 ，即 ，也即 ，解得 . 16. ，当且仅当 （北京）股份有限公司 时，等号成立. 17.解：（1）若选择①.因为 ，所以 ， 则 . 若选择②.因为 ，所以 ，即 ， 则 ，所以 . 若选择③.因为 ，所以 ，又 ，所以 . 又因为 ，所以 ， 所以 . （2）角 与角 均以 轴的正半轴为始边，它们的终边关于 轴对称， 则 ，即 ， 所以 . 由（1）得 ， 所以 . 18.解：（1）因为 ， （北京）股份有限公司 所以 ，即 . 当 时，不等式 的解集为 . 当 时，不等式 的解集为 . 当 时，不等式 的解集为 . （2）由题意，关于 的方程 有两个不等的正根， 由韦达定理知 解得 . 则 ， ， 因为 ，所以 ， 当且仅当 ，且 ，即 时，等号成立， 此时 ，符合条件，则 . 综上，当且仅当 时， 取得最小值36. 19.解：（1） . ①当 时， ； ②当 时， . 故 （北京）股份有限公司 （2）若 ， 当 时， . 若 ，当且仅当 时，等号成立. 当 时， 故2023 年的年产量为90 千部时，企业所获利润最大，最大利润是8070 万元. 20.解：（1）令 ，则由已知得 ， 所以 ， 则 ，经检验，符合题意.（注：不检验不扣分） （2）当 时， . 当 时， ，设 ， 因为 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，所以 . 综上， 的值域为 . 令 ， 记 的值域为 ，则 . ，得 ， 所以 解得 . 故 的取值范围为 . 21.解：（1）设 ，由 ，得 . （北京）股份有限公司 由 ， 得 ， 整理得 ， 所以 解得 所以 . （2）由题可得 ， 令 ，则 ，故 . 对任意 ，即 恒成立， 则 ， 所以 ，此时 . ， 当且仅当 时，等号成立， 此时 成立， 所以 的最大值为 . 22.（1）证明：令 ，方程 有4 个不相等的实数根 ， 即 有4 个不相等的实数根 ，其中 ， 即 ，所以 ， 即 或 ， （北京）股份有限公司 因为方程 有4 个不相等的实根， 所以由根与系数的关系得 ， 所以 ， 得 . （2）解：如图，可知 在 上单调递减，在 上单调递增， 在 上单调递减，在 上单调递增. ①当 时， 在 上单调递减，则 化简得 ， 因为 ，所以上式不成立，即 无解，所以 不存在. ②当 时， 在 上单调递增，则 所以关于 的方程 ，即 在 内有两个不等的实根. 令 ，则 ， 结合图象可知， . （北京）股份有限公司 ③当 时， 在 上单调递减， 则 ，化简得 ，所以 ，即 . 由 即关于 的方程 在 内有两个不等的实根， 也即 在 内有两个不等的实根， 所以 ，即 . ④当 时， 在 上单调递增，则 关于 的方程 ，即 在 内有两个不等的实根. 令 ，则 ， 函数 在 上单调递增，没有两解，不符合题意. 综上所述， 的取值范围为 . （北京）股份有限公司