安徽省十联考（合肥市第八中学等）2022-2023学年高一上学期11月期中联考数学试题

省十联考*合肥八中2022~2023 高一上学期期中联考 特别鸣谢参考学校（排名不分先后）： 合肥八中、滁州中学、阜阳一中、淮北一中、毫州一中、六安二中、霍邱一中、金寨一中、舒 城中学、霍山中学、毛坦厂中学、寿具一中、蒙城一中、利辛一中、界首一中、临泉一中、阜 南一中、颍上一中、阜阳二中、阜阳红旗、淮南一中 数学试题 合肥八中高二数学组命制 考生注意： 1. 本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150 分，考试时间120 分钟. 2. 答题前，考生务必用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区 域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4. 本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章~第三章. 5. 答题卡套印若出现印偏、印歪、印斜，请向监考老师调换免得影响网阅. 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集 ，集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 若函数 和 分别由下表给出： 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 1 2 1 4 3 满足 的 值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 函数 的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题正确的是（ ） A. 1 是最小的自然数 B. 每个正方形都有4 条对称轴 C. ， D. ，使 5. 若偶函数 在 上是减函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 对于给定实数 ，不等式 的解集不可能是（ ） A. B. C. D. 7. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函 数”为：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数.例如： ， .已知函数 ，则函数 的值域为（ ） A. B. C. D. 8. 已知 是 上的奇函数，且当 时， ，若 ，则 （ ） A. 1 B.－2 C. －1 D. 2 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对 的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9. 已知集合 ， .若 ，则实数 的值为（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 10. 给出下列四个选项，其中能成为 的必要条件的是（ ） A. B. C. D. 11. 如果某函数的定义域与其值域的交集是 ，则称该函数为“ 交汇函数”.下列函数是“ 交汇 函数”的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知 ， 是正实数，则下列选项正确的是（ ） A. 若 ，则 有最小值2 B. 若 ，则 C. 若 ，则 有最大值 D. 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 命题“ ， ”的否定是_________. 14. 已知 ，则 _________. 15. 函数 的最大值为_________. 16. 已知函数 ，若函数 在 上不是增函数，则实数 的一个取值为_________.（写出 满足题意的一个 的值即可） 四、解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10 分） 已知全集 ，集合 ，集合 . （1）求集合 及 ； （2）若集合 ，且 ，求实数 的取值范围. 18.（本小题满分12 分） 已知函数 和 ，设 . （1）若函数 ，试判断 与 是否为同一函数，并说明理由； （2）求 的值域. 19.（本小题满分12 分） 设 ：实数 满足 ， ：实数 满足 . （1）若 ，求同时满足 ， 的实数 的取值范围； （2）若“存在 同时满足 ， ”为假命题，求实数 的取值范围. 20.（本小题满分12 分） 设函数 ， . （1）当 时， ，求 的取值范围； （2）当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围. 21.（本小题满分12 分） 已知函数 为奇函数. （1）当 时，判断 的单调性并证明； （2）解不等式 . 22.（本小题满分12 分） 春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候 车厅，候车人数与时间相关，时间（单位：小时）满足 ， .经测算，当 时，候 车厅处于满厅状态，满厅人数5320 人，当 时，候车人数相对于满厅状态时会减少，减少人数与 成正比，且时间为6 点时，候车人数为4120 人，记候车厅候车人数为 . （1）求 的表达式，并求当天中午12 点时，候车厅候车人数； （2）若为了解决旅客的安全饮水问题，需要提供的免费矿泉水瓶数 ，则一天中哪个 时间需要提供的矿泉水瓶数最少？ 省十联考*合肥八中2022~2023 高一上学期期中联考·数学试题 参考答案 1. D 由题意得 ，∴ .故选D. 2. D 3. C 由 ，得 或 ，∴ 的定义域为 .故选C. 4. B 5. B 6. D 由 ，分类讨论 如下： 当 时， ； 当 时， ； 当 时， 或 ； 当 时， ； 当 时， 或 .故选D. 7. C 8. A 9. BD 因为 ，所以 .因为 ， ，所以 或 ，解得 或 或 ；当 时， ， ，符合题意；当 时，集合 不满足集合元素 的互异性，不符合题意；当 时， ， ，符合题意.综上， 或2.故选BD. 10. BCD 对于A 选项，若 ，则 ，不能推出 ，所以 不是 的必要 条件，选项A 不正确； 对于B 选项，由 ，能推出 ，所以 是 的必要条件，故选项B 正确； 对于C 选项，由 ，能推出 ，所以 是 的必要条件，故选项C 正确； 对于D 选项， 在 上单调递减，若 ，则 ，所以 是 的必要条件，故选项D 正确.故选BCD. 11. AB 由 交汇函数定义可知 交汇函数表示函数定义域与值域交集为 . 对于A， 的定义域 ，值域 ，则 ，A 正确； 对于B， 的定义域 ，令 ，则 ，值域 ，则 ，B 正确； 对于C， ，∵ ，∴ ，∴ ，定义域 ，值域 ，则 ，C 错误； 对于D， 的定义域 ， ， ∵ ，∴ ，则 ，∴ ，值域 ，则 ，D 错误.故选AB. 12. ACD 13. “ ， ”因为命题“ ， ”为全称量词命题，所以该命题的否定为“ ， ”. 14. （ （ 且 ）也对）由 ，得 . 15. －1 当 时， ， ，则 ，当 时等号成立，故函数 的最大值为－1. 16. －2（答案不唯一，满足 或 即可） 和 的图象如图所示： ∴当 或 时， 有部分函数值比 的函数值小， 故当 或 时，函数 在 上不是增函数. 17. 解：（1）由 ，得 ，或 ，所以 ，则 ， 由 ，所以 ， . （2）因为 ， 所以 ，解得 . 所以 的取值范围是 . 18. 解：（1） 和 不是同一函数， . ∵ 的定义域为 ， 的定义域为 ， ∴ 的定义域为 与 的定义域的交集，即 . ∴ ， . 虽然函数解析式相同，但是定义域不同，前者定义域为 ，后者定义域为 . 所以 和 不是同一函数. （2） ， . （ 只是表示函数的字母，用其他字母表示也可） 令 ，则 ， 所以原式转化为 ， 其值域为 . 故 的值域为 . 19. 解：（1）当 时， ，即 ，解得 . 则 ： . ：实数 满足 ，化为 ，解得 ，即 . 要同时满足 ， ，则 ，解得 . 所以实数 的取值范围是 . （2）由 ，得 或 . 因为“存在 同时满足 ， ”为假命题，所以 ， 所表示的 范围无公共部分. 当 时， ： ， ： ，满足题意； 当 时， ： ， ： ，则 或 ，解得 或 ； 当 时， ： ， ： ，满足题意. 综上，实数 的取值范围是 . 20. 解：（1）由 ，得 ， 即 ， 当 时， ，解得 ，或 . 所以 的取值范围是 . （2） ， 因为 ，所以 ， 可化为 ，即 . 因为 （当且仅当 ，即 时等号成立）， 所以 . 所以 的取值范围为 . 21. 解：（1） 的定义域为 ， 因为 为奇函数，所以对于 ，都有 成立. ，则 ， 整理，得 ，上式对 恒成立，故 ， . 在 上为增函数，证明如下： 设 ，且 ， ， 因为 ，所以 ， ， ， 所以 ，即 ，可得 ， 所以 在 上单调递增. （2） ，即 . ， ， 且函数 在 上单调递增， 所以 ， 解得 ， 所以 的解集是 . 22. 解：（1）当 时，设 ， ，解得 . 所以 . ， 故当天中午12 点时，候车厅候车人数为4360 人. （2） ， ①当 时， ，当且仅当 时等号成立； ②当 时， ； 又 ，所以 时，需要提供的矿泉水瓶数最少.