天津市五区县重点校联考2022-2023学年高二下学期4月期中数学试题(1)

重点校期中高二数学 第 1 页（共 16 页） （北京）股份有限公司 2022～2023 学年度第二学期期中重点校联考 高二数学 出题学校：芦台一中 杨村一中 一、选择题（本题共9 小题，每题5 分，共45 分） 1．下列求导运算正确的是（ ） A．(cos π 4) ′ =−sin π 4 B． C． D． 2． 的展开式的中间一项的二项式系数为（ ） A．15 B． C． D．20 3．在数列 中， ，则a2021的值为（ ） A． B． C． D． 4．已知 为递减等比数列， ，则 （ ） A． B． C． D． 5．已知f (x )=ex x 在区间 上有极小值，则实数m 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．数列 满足a1+4 a2+42a3+⋯+4n−1an= n 4 (n∈N ¿)，则 等于（ ） A．( 1 4) 55 B．1−( 1 4) 10 C．1−( 1 4) 9 D．( 1 4) 66 7．现将ABCD 四个人全部安排到甲市、乙市、丙市三个地区工作，要求每个 重点校期中高二数学 第 2 页（共 16 页） （北京）股份有限公司 地区都有人去，则A、B 两个人至少有一人到甲市工作的安排种数为（ ） A．12 B．22 C．18 D．14 重点校期中高二数学 第 2 页（共 16 页） （北京）股份有限公司 8．已知等差数列 ，其前项和为 ，若 ， ，则下列结论正确 的是（ ） （1） （2）使 的 的最大值为16 （3）当 时 最大（4）数列 （ ）中的最大项为第8 项 A．（1）（2） B．（1）（3）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（4） 9．已知 是定义在R 上的偶函数，当 时， ，则不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6 小题，每题5 分，共30 分） 10． 展开式中 的系数为_________（用数字作答） 11．由 所组成的没有重复的五位数中，能被5 整除的有______个． 12．已知数列 为等比数列，且 ，设等差数列 的前 项和为 ， 若 ，则 __________． 13．已知函数 的导函数为 ，且 ，则 ____． 14．设数列 的通项公式为an=(−1)n 4 n 4 n2−1 ，其前 项和为 ，则S2020=___. 15．已知函数 ， ，若函数 恰有3 重点校期中高二数学 第 3 页（共 16 页） （北京）股份有限公司 个零点，则实数 的取值范围为_________. 重点校期中高二数学 第 3 页（共 16 页） （北京）股份有限公司 三、解答题（共5 题，共75 分） 16．（本小题满分14 分） 已知在( a 2 x2−1 √x) 10 的展开式中（ ），常数项为45 4 ，求： （1）a的值； （2）展开式中x10的系数； （3）含的整数次幂的项共有多少项. 17．（本小题满分15 分） 已知函数 在 处有极值6. （1）求函数 的单调区间； （2）求函数 在 上的最大值与最小值. 18．（本小题满分15 分） 已知数列 的前项和为 ， 且Sn+1=2Sn+n+1（ ）. （1）证明：数列 为等比数列； （2）令bn=[2log2(an+1)+1](a2n+1)，求数列 的前项和 . 重点校期中高二数学 第 4 页（共 16 页） （北京）股份有限公司 重点校期中高二数学 第 4 页（共 16 页） （北京）股份有限公司 19．（本小题满分15 分） 已知数列 ， 是数列 的前项和，满足Sn=n2；数列 是正项的 等比数列，T n是数列 的前 项和，满足b1=1，T 3=7（ ）. （1）求数列 和 的通项公式； （2）记Cn=¿{ 6n+13 anan+22 n+1，n为奇数¿¿¿¿ ，数列 的前 项和为 ，若不等式 (−1)n λ− 1 (4n+1)4n <T 2n对一切 恒成立，求 的取值范围． 20．（本小题满分16 分） 已知函数 （1）当 时，求函数 在 处的切线方程; （2）讨论函数 的单调性; （3）当函数 有两个极值点 且 .证明： . 重点校期中高二数学 第 5 页（共 16 页） （北京）股份有限公司 2022～2023 学年度第二学期期中重点校联考 高二数学参考答案 一、选择题（本题共9 小题，每题5 分，共45 分） 1—5 CDCBD 6—9ABBA 二、填空题（共6 小题，每题5 分，共30 分） 10． 11．216 12．27 13． 14．−4040 4041 15． 三、解答题（共5 题，共75 分） 16．（本小题满分14 分） （1）由已知得二项展开式的通项 ….3 因为常数项 ， 所以当 时，解得 ……………5 （2）由（1）知 ， ……………7 令 得 ………………9 所以 的系数为 …………………10 （3）要使 为整数，只需为偶数，由于 ， ，因此含x 的整 数次幂的项共有6 项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11 项. ……… …14 17．（本小题满分15 分） （1）由题意可得 ，故 重点校期中高二数学 第 6 页（共 16 页） （北京）股份有限公司 ， ………………2 即 ，得 ， ………………4 经检验 在 处取得极值； ………………5 得 或， ………………6 当 和 时， ，当 时， ， 故 的单调增区间是 ，单调减区间是 ， …………… 8. （2）由（1）知， 得 或1，列表如下 递增 极大值 递减 ………………12 又 ， 时， . … ……………15 18．（本小题满分15 分） （1）证明：当 时， ， ………………1 当 时， ， ………………3 相减得： 重点校期中高二数学 第 7 页（共 16 页） （北京）股份有限公司 ， ………………4 ， ………………5 由 ，得 ， 所以 是首项为2，公比为2 的等比数列 ………………7 （2）由（1）得， ，所以 … ……………9 所 ………………10 所以 ………………11 相减 ………………12 ………………14 ∴ ………………15 19．（本小题满分15 分） （1）依题意 ； 当 时， ；当 时， 适合上式， 所以数列 的通项公式 . …………3 又因为 ，数列 为等比数列， 所以 ，解得 或 （舍去），所以 ；……… …6 （2）由题意可知， ， ； 重点校期中高二数学 第 8 页（共 16 页） （北京）股份有限公司 由已知 …………7 设 的前 项和中，奇数项的和为 ，偶数项的和为 ， 所以 ， ， 当为奇数时， ， …………9 所以， ……10 当为偶数时， ，所以 ， …………12 由 ，得 ，即 ，当为偶数时， 对一切偶数成立，当 时， 为最小值，所以 ，当为奇数时， 对一切奇 数成立，当 时 为最大值，所以此时 ，故对一切 恒成立，则 ． …………15 20.（本小题满分16 分） 解：（1）当 时， ，则 …………2 所以 ，又 ， …………4 重点校期中高二数学 第 9 页（共 16 页） （北京）股份有限公司 所以函数 在 处的切线方程为 ，即 ； …………5 （2）函数 的定义域为 ，则 ， …………6 令 ，即 ，则 当 ，即 时， ，此时 在 上单调递减； 当 ，即当 或 时，若 ，方程 的两根为 ，则两根均为正根，且 ，则 时 ， ， 单 调 递 减 ， 时 ， ， 单 调 递 增 ， 时， ， 单调递减，若 ， 恒 成立，所以 在 上单调递减；…9 综上，当 ， 在 上单调递减；当 时， 在 ， 上单调递减，在 上单 调递增. ……10 （3）证明： 由（2）知，当 时， 有两个极值点，满足 ，则 重点校期中高二数学 第 10 页（共 16 页） （北京）股份有限公司 ，……12 所以 …………13 令 ，则 ，………14 则当 时， ， 单调递增，当 , ， 单调递减，所以 ，即 . …………16