pdf文档 安徽省卓越县中联盟2021-2022学年高二上学期期中联考数学答案 VIP文档

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高二数学期中联考参考答案第页(共6 页) 1 安徽省卓越县中联盟2021-2022 学年度第一学期高二年级期中联考 数学参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B D C D B C B D D B A 1.A【解析】��� � �+ ��� � �= −2, −3,1 + 1,2,4 = ( −1, −1,5),A 正确. 2.B 【解析】 AM � ����= AA1 � �����+ A1M � ������= AA1 � �����+ 1 2 A1B1 � �������+ A1D1 � ������� = 1 2 AB � ���+ AD � ���� + AA1 � �����= 1 2 ��� � �+ 1 2 b � �+ ��� � �, B 正确. 3.D【解析】所求直线倾斜角与已知直线倾斜角互补,故斜率互为相反数,两条直线与���轴交 点坐标相同,D 正确. 4.C【解析】化已知椭圆方程为标准形式 ���2 4 + ���2 3 = 1,则焦点坐标为(± 1,0),C 正确. 5.D【解析】对于A,因为��� � �⋅b � �≠0,所以l 与m 不垂直,A 错误;对于B,因为��� � �⋅n � �= 0,所 以B 错误; 对于C, 因为n1 � ���与n2 � ���不平行, 所以α∥β不成立, C 错误; 对于D, ������ � ����= ( −1, −1,1), ������ � ����= ( −1,3,0),由n � �⋅AB � ���=−1 −p + q = 0,n � �⋅BC � ���=−1 + 3p = 0,解得p = 1 3,q = 4 3,所 以p + q = 5 3,D 正确. 6.B 【解析】 如图, 设BA � ���= ��� � �, BC � ���= b � �, BD � ����= c � �, 由题知��� � �⋅b � �= b � �⋅c � �= c � �⋅ ��� � �= 2, 又GE � ���= BE � ���−BG � ���= 1 2 ��� � �− 1 2 b � �− 1 2 c � �, GF � ���= 1 2 CA � ���= 1 2 BA � ���−BC � ��� = 1 2 ��� � �− 1 2 b � �,则GE � ���⋅GF � ���= 1 2 ��� � �− 1 2 b � �− 1 2 c � � ⋅ 1 2 ��� � �− 1 2 b � � = 1,B 正确. 7.C【解析】椭圆 ���2 3 + ���2 = 1 的蒙日圆方程为���2 + ���2 = 4,由题意该圆与已知圆相切,又两圆 圆心间距离为4 + b2,故4 + b2=5 或4 + b2=1(无解,舍去),解得b =± 21,C 正确. 8.B【解析】如图,以D 为坐标原点,分别以DA,DC,DD1 所在的直线为���,���,���轴,建立空间直角坐标系,则E 2,0, 3 2 , F 2,2, 1 2 ,D1 0,0,2 ,G 0,1,0 ,所以EF � ���= 0,2, −1 ,D1G � �����= 0,1, −2 , 由题知cos EF � ���, D1G � ����� = EF � ���⋅D1G � ����� EF � ��� D1G � ����� = 4 5 5 = 4 5, B 正确. 9.D 【解析】 如图, 取CD 中点O, 连接PC, PO, PD, 则PC � ���+ PD � ��� = 2PO � ��� = 2 PO � ���,又PO � ��� ∈0, 3 2 ,则PC � ���+ PD � ���的取值范围是0, 3 ,D 正确. 高二数学期中联考参考答案第页(共6 页) 2 10.D【解析】由题知点A、B 关于原点对称, AB = 2 OF2 = 2c, F2A ⊥F2B,则F2A = 2c ∙cos θ ,F2B = 2c ∙sin θ, 又 F2A + F2B = F2A + F1A = 2���,即2c ∙cos θ + 2c ∙sin θ = 2���,e = c ���= 1 sin θ +cos θ = 1 2 sin (θ+π 4) ,由θ ∈ π 12 , π 6 得2sin (���+ ��� 4 ) ∈ 6 2 , 3+1 2 ,所以emin = 3 −1,D 正确. 11.B 【解析】 如图, 点C2的轨迹方程是(���−5)2 + (���−4)2 = 1, 即得点C2是圆C3:(���−5)2 + (���−4)2 = 1 上的动点, 又由题知 点B 是圆C2上的动点, 则AB min = (5 −2)2 + (4 −0)2 −1 − 1 −1 = 2,B 正确. 12.A【解析】 解法一: (坐标法)以A 为坐标原点,AB、AD 所在直线分别为��� 轴、���轴,建立如图所示的平面直角坐标系���O���,设 B(b, 0), D(0, d), Q(p, q),则得C(b, d),及圆Q 的方程���−p 2 + ���−q 2 = ���2,又点C 在圆Q 上,所以b −p 2 + d −q 2 = ���2, 又QB = (b −p)2 + q2 = 2 ,QD = p2 + (d −q)2 = 2 , QA = p2 + q2 ,则QA 2 = QD 2 + QB 2 − b −p 2 + d − q 2 = 8 −r2,又r ∈0,1 ,则8 −r2 ∈7, 8 ,QA ∈ 7, 2 2 , A 正确. 解法二:(利用课本例题结论:平行四边形对角线平方和等于 四边平方和)如图,连接AC、BD 交于点P,则P 是AC 和BD 的中点,在∆QAC 中,有2 QA 2 + QC 2 = (2 QP )2 + AC 2, 即2 QA 2 + 2 QC 2 = 4 QP 2 + AC 2, 在∆QBD 中, 有2( QD 2 + QB 2) = (2 QP )2 + BD 2 ,即 2 QD 2 + 2 QB 2 = 4 QP 2 + BD 2,又AC 2 = BD 2,2 QA 2 + 2 QC 2 = 2 QD 2 + 2 QB 2, QA 2 + ���2 = 8,下同解法一. 二、填空题 13.1 【解析】由���1∥���2,得 3 6 = m 3−m ≠ −2 1 ,求得m = 1. 14.12 【解析】圆心C 到直线���的距离d = 4,AB = 2 25 −16 = 6,S∆AOB =12. 15.8 【解析】 取椭圆另一焦点F2, ∆F1AB 的周长L = F1A + F1B + AB = (2���− F2A ) + (2���−F2B ) + AB = 4���+ AB −( F2A + F2B ) ≤4���+ AB − AB = 4���=8. 16.①②③ 【解析】: 解法一(坐标法):如图,取棱B1C1的中点F,以OB 为��� 高二数学期中联考参考答案第页(共6 页) 3 轴,OA 为���轴,OF 为���轴,建立空间直角坐标系O −���������,易知O 0,0,0 ,E 1 4 , 3 4 , 1 ,CB � ���= (1,0,0), OE � ���= 1 4 , 3 4 , 1 , OE � ���绕着BC 旋转即绕着���轴旋转, 设旋转后的向量为��� � �, 则��� � � = OE � ��� = 5 2 ,①正确;设��� � �= (���, ���, ���),则���= 1 4,���2 + ���2 = 5 2 2 − 1 4 2 = 19 16,点E 的轨迹是以 19 4 为半 径的圆, ②正确; 易知���2 ∈0, 19 16 , ��� � �在平面α上的投影向量即为其在���O���平面上的投影向量b � �= 1 4 , ���, 0 ,b � � = 1 16 + ���2 ∈ 1 4 , 5 2 ,③正确;设直线OE 在平面α内的投影与直线BC 所成的 角为α,则cosα = cos b � �, CB � ��� = 1 4 1 16+���2 ∈ 5 10 , 1 ,④错误. 解法二(综合几何法):如图,取线段OB 的中点O', 连接O'E,易知O'E ⊥OB,OE = 5 2 ,OO' = 1 4,则 O'E = 19 4 ,且易知在三棱柱绕BC 旋转一周的过程 中,��� � � = OE = 5 2 ,点E 的轨迹是以O'为圆心,半径 长为 19 4 的圆,该圆所在的平面与平面α垂直,设该圆与平面α交于P、Q 两点,设��� � �= OE' � ����, 过E' 作E'G ⊥PQ 于点G ,则易知b � �= OG � ����,且点G 在线段PQ 上运动,又 OP = OQ = OE = 5 2 , 则b � � = OG ∈ 1 4 , 5 2 , 易知∠GOO'即为直线OE 在平面α内的投影 与直线BC 所成的角,当点G 与点P 或点Q 重合时,cos∠GOO'取最小值 5 10,当点G 与O'重 合时,cos∠GOO'取最大值1,故综上所述,①②③正确,④错误. 三、解答题 17. 解:(1) 因为��� � �∥b � �,所以 ��� −2 = 4 ���= 1 −1 ,解得���= 2 ,���=−4 ,故��� � �= 2,4,1 , b � �= −2, −4, −1 ,又因为b � �⊥c � �,所以b � �⋅c � �=0,即−6 + 8 −���= 0,解得���= 2,故c � �= 3, − 2,2 . .............................5 分 (2)由(1)可得��� � �+ c � �= 5,2,3 , b � �+ c � �= 1, −6,1 , 设向量��� � �+ c � �与b � �+ c � �所成的角为θ, 则cosθ = 5−12+3 38⋅38 =− 2 19. .............................10 分 18.解:(1)设直线AB 的倾斜角为α,直线l 的倾斜角为θ,则tan ���= kAB =−2,tan θ = tan α + 45° = tan ���+tan 45��� 1−tan ���∙tan 45���=− 1 3, 又直线l 过点A, 则直线l 的方程为���−1 =− 1 3 ���即���+ 3���− 3 = 0. .............................6 分 (2)设C(3 −3t, t) 解法一:AC = (3 −3t)2 + (t −1)2= 10t2 −20t + 10,AB = 4 + 16 = 2 5,S∆ABC = 高二数学期中联考参考答案第页(共6 页) 4 1 2 AC ∙AB ∙sin 45o= 2 5 2 10t2 −20t + 10 ∙sin 45o = 5 ,解得t = 0 或t = 2,得点C 坐标 为3,0 或−3,2 . .............................12 分 解法二:直线AB 方程为2���+ ���−1 = 0,点C 到直线AB 距离等于 5−5t 5 ,又AB = 2 5, 则S∆ABC = 1 2 × 5−5t 5 × 2 5 = 5 ,解得t = 0 或t = 2 ,得点C 坐标为 3,0 或 −3,2 . .............................12 分 19.解:(1)证明:因为底面ABCD 和侧面BCC1B1都是矩形,所以BC ⊥CD,BC ⊥CC1, 又因为CD⋂CC1 = C ,CD,CC1 ⊂平面DCC1D1 ,所以BC ⊥平面DCC1D1 , 因为D1E ⊂平面DCC1D1,所以BC ⊥D1E, 又由题知DE = D1E = 1, DD1 = 2, DE2 + D1E2 = DD1 2,所以D1E ⊥DC,又BC⋂DC = C,所以D1E ⊥平面ABCD. ..............................5 分 (2)设G 为AB 的中点,以E 为原点,EG、EC、ED1 所在直线分别为���轴、���轴、���轴,建立如图所示的空间 直角坐标系,则得点E(0,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0), C1(0,2,1),D1(0,0,1),设平面 1 BED 的一个法向量为 n1 � ���= (���1, ���1, ���1),又EB � ���= (1,1,0),ED1 � �����= (0,0,1),则 n1 � ���⋅EB � ���= ���1 + ���1 = 0 n1 � ���⋅ED1 � �����= ���1 = 0 ,令���1 =−1 ,则取n1 � ���= ( − 1,1,0),设平面BCC1B1的一个法向量为n2 � ���= (���2, ���2, ���2),又CB � ���= (1,0,0),CC1 � �����= (0,1,1), 则 ���2 � ���⋅CB � ���= ���2 = 0 ���2 � ���⋅CC1 � �����= ���2 + ���2 = 0 ,令���2 = 1,则取n2 � ���= (0,1, −1),设平面BED1与平面BCC1B1的 夹角为θ,则cosθ = cos n1 � ���, n2 � ��� = n1 � ���⋅n2 � ��� n1 � ��� n2 � ���= 1 2⋅2 = 1 2,所以θ = π 3,即得平面BED1与平面 BCC1B1的夹角为 π 3. .............................12 分 20.解: (1)设M ���, ���,则Q 0, ���,由QP � ���= PM � ����得P 是QM 的中点, 得P ��� 2 , ���, 又点P 在圆���2 + ���2 = 1 上, 代入得曲线C 的方程为 ���2 4 + ���2 = 1. ..............4 分 (2)解法一:设直线l 的方程为���= m���−1 ,E(���1, ���1), F(���2, ���2), 由 ���2 4 + ���2 = 1 ���= m���−1 得 (���2+4)���2 −2������−3 = 0,由于点−1,0 在椭圆C 内部, 所以该方程一定有两个不同实数解, 且���1 + ���2 = 2��� ���2+4 , ���1���2 = −3 ���2+4 ,因为���1���2 < 0 ,所以S1 −S2 = 1 2 × 4 × ���1+���2 = 2 ���1+���2 = 4 ��� ���2+4,当m = 0 时,S1 −S2 = 0,当m ≠0 时,S1 −S2 = 4 ���+ 4 ��� ≤1,当且 高二数学期中联考参考答案第页(共6 页) 5 仅当m =± 2 时等号成立. 综上所述,S1 −S2 的最大值为1. ...............................................12 分 解法二:①当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为���=−1,不妨得 E −1, 3 2 , F −1, − 3 2 ,S1 = S2 = 3, S1 −S2 = 0; ②当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为���= k ���+ 1 (k ≠0),E(���1, ���1), F(���2, ���2), 由 ���2 4 + ���2 = 1 ���= k ���+ 1 得(4k2 + 1)���2 + 8k2���+ 4k2 −4 = 0,由于点−1,0 在椭圆C 内部,所以 该方程一定有两个不同实数解, 且���1 + ���2= −8k2 4k2+1 ,���1���2 = 4���2−4 4k2+1, ���1 + ���2 = k(���1 + ���2 + 2) = 2k 4k2+1 , ���1���2 = k2(���1 + ���2+���1���2 + 1) = −3k2 4k2+1 ,因为���1���2 < 0 ,所以S1 −S2 = 1 2 × 4 × ���1+���2 = 2 ���1+���2 = 4 k 4k2+1 = 4 4 k + 1 k ≤1,当且仅当k =± 1 2时等号成立. 综上所述,S1 −S2 的最大值为1. ...............................................12 分 21. 解:(1)由题得当前台风中心所处位置P 点坐标为(100cosθ, −100sinθ) ,即点 P 10 2, −70 2 ,又A 至B 段所在直线的方程为���+ ���= 0,则点P 到该直线的距离为 10 2−70 2 2 = 60, 则AB = 2 902 −602 = 60 5 ≈134.2 km ,即得当前该航线正被台风侵 袭的A 至B 段的距离为134.2 km. ...............................................5 分 (2)由题知,当该航线不受台风侵袭时,城市O 也恰好结束遭受台风侵袭.设经过t 小时后台 风中心所处位置为点P �,则得P �坐标为10 2 − 2 2 × 10t, −70 2 + 2 2 × 10t ,即点P �10 2 − 5 2t, −70 2 + 5 2t ,又圆P �的方程为���−10 2 −5 2t 2 + ���−−70 2 + 5 2t 2 = 902, 则由0 −10 2 −5 2t 2 + 0 −−70 2 + 5 2t 2 = 902, 得t = 8 ± 3 5, 其中8 − 3 5、 8 + 3 5分别表示城市O 开始和结束遭受台风侵袭所需要经历的时间, 则易得经过8 + 3 5 ≈14.7(h)后该航线将不受台风侵袭. .................................................12 分 22.解:(1)证明:当AO1 � �����= OP � ���时,易知四边形AOPO1为平行四边形,则AO∥O1P,又AO 平面O1PQ,O1P ⊂平面O1PQ,所以AO∥平面O1PQ,同理可证,当AO1 � �����= OQ � ����时,有AO∥平面 O1PQ,故证得当AO1 � �����= OP � ���或AO1 � �����= OQ � ����时,AO∥平面O1PQ. ..................4
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