浙江省杭州地区（含周边）重点中学2022-2023学年高二下学期期中联考数学试卷(1)

绝密★考试结束前 2022 学年第二学期期中杭州地区（含周边）重点中学 高二年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷满分150 分，考试时间120 分钟； 2.答题前，在答题卷密封区内填写班级､学号和姓名；座位号写在指定位置； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题卷. 第Ⅰ卷 一､单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若复数 满足 （其中为虚数单位），则 的共轭复数 的虚部是（ ） A. B. C.2 D.-2 2.向量 ，若 ，则实数 （ ） A.1 B.2 C.-1 D.-2 3.若二项式 展开式中含有常数项，则 的最小值为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 4.向量 对应的点在曲线 上，则 （ ） A. B. C. D. 5.某班需安排甲､乙､丙､丁四位同学到 三个社区参加志愿活动，每位同学必须参加 一个社区活动，每个社区至少有一位同学.由于交通原因，乙不能去 社区，甲和乙不能同 去一个社区，则不同的安排方法数为（ ） A.14 B.20 C.24 D.36 6.设圆柱的体积为 ，当其表面积最小时，圆柱的母线长为（ ） A. B. C. D. 7.已知 ，则 的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 8.已知函数 ，若存在两条不同的直线与函数 和 图象均相切，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的 得2 分. 9.已知正项等比数列 ，其前 项和为 ，且 成等差 数列， ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10.已知函数 ，则下列结论中正确的是（ ） A.导函数 的单调递减区间为 B. 的图象关于点 中心对称 C.过原点 只能作一条直线与 的图象相切 D. 恰有两个零点 11.已知椭圆 的左右焦点分别为 ，圆 内切于椭圆 .过 椭圆上不与顶点重合的点 引圆 的两条切线，切点分别为 ，点 关于原点 对称，则下列结论中正确的是（ ） A. 的最小值为 B.存在点 ，使得 C.若直线 交椭圆于 两点，线段 的中点为 ，则 的值为常数 D.若 在 轴上的射影是 ，直线 交椭圆于另一点 ，则直线 与 不垂直 12.如图，在一广场两侧设置6 只彩灯，现有4 种不同颜色的彩灯可供选择，则下列结论正 确的是（ ） A.共有 种不同方案 B.若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1､4）也不同色，且4 种颜色的彩灯均要使用，则 共有186 种不同方案 C.若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1､4）也不同色，且只能使用3 种颜色的彩灯，则 共有192 种不同方案 D.若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1､4）也不同色，且只能使用2 种颜色的彩灯， 则共有12 种不同方案 第II 卷 三､填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13.设 ，则 ________ __.（用数值作答） 14.正项数列 满足 .则数列 的前 项和 ________ __. 15.甲乙两个盒子中分别装有大小､形状完全相同的三个小球，且均各自标号为1､2､3.分别 从两个盒子中随机取一个球，用X 表示两球上数字之积，X 的方差为 ，则 __________. 16.定义在 上的函数 满足： ，则不等式 的解集__________. 四､解答题：本题包括6 小题，共70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步 骤. 17.（本题满分10 分）数列 满足： ，等比数列 的前 项 和为 ， . （1）求数列 的通项公式； （2）若数列 的前 项和为 ，试证明 . 18.（本题满分12 分）如图，四棱锥 中， 底面 .底面 为等 腰梯形， . （1）求证：平面 平面 ； （2）若点 在线段 上，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值. 19.（本题满分12 分）在锐角 中，角 的对边分别是 ，且__________. 在下列两个条件中选择一个补充在横线上： ① ：② （1）求出角 的大小； （2）若角 的平分线交边 于点 ，且 ，求 的取值范围. 20.（本题满分12 分）杭州亚运会最终确定延期至2023 年9 月23 日至10 月8 日举行，某 校就此热点举办了一场迎亚运知识竞赛，将100 人的成绩整理成下表： 分数 男 女 男 女 男 女 男 女 男 女 男 女 频率/ 组距 0.007 0.003 0.009 0.006 0.018 0.007 0.028 0.007 0.009 0.001 0.003 0.002 （1）从不低于70 分的学生中选出1 人，如果他是男生，求该学生成绩在80 分以上（含80 分）的概率； （2）已知某生成绩低于70 分，设该生成绩为 ，求他的成绩 的分布列与期望； （3）假设M 表示事件“学校举办亚运知识培训”，N 表示事件“某学生对亚运知识产生 兴趣”， ，一般来说在学校举办亚运知识培训的情况下学生对亚运知识产生兴 趣的概率会超过不举办培训的概率.证明： . 21.（本题满分12 分）在直角坐标平面内，已知 ，动点 满足条件：直 线 与直线 的斜率之积等于 ，记动点 的轨迹为 . （1）求 的方程； （2）过点 作直线交 于 两点，直线 与 交点 是否在一条定直线 上？若是，求出这条直线的方程；若不是，说明理由. 22.（本题满分12 分）已知函数 ，其中 ，若 有两个零 点 ，且 . （1）设 为函数 的一个极值点，求证： ； （2）求证： . 2022 学年第二学期期中杭州地区（含周边）重点中学 高二年级数学学科参考答案 一､选择题：每小题5 分，共40 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D A B B D A C 二､多项选择题：每小题5 分，全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分 题号 9 10 11 12 答案 AC BC BCD ACD 三､填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13.211 14. 15. 16. 四､解答题：本题包括6 小题，共70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步 骤. 17.解： （1） ， 也满足上式. 公比 . （2） 18.解： （1）作 ，垂足为 ，则 由余弦定理， .又 平面 平面 平面 . （2）由（1），可以点 为坐标原点建系如图. ， ， 设 ，平 面 的法向量 . 则 可取 则 是 中点，.. 是 中点， 同理可求平面 的法向量 ，即平面 的法向量.. ，即为所求平面夹角的余弦值... 19.解： （1）① ， ② ，故 可取 ， 则 ， ，故 （2）今 ，则 又 在 上单调递增， 20.解： （1）不低于70 分的学生人数为 .设从中选出1 人是男生为事 件 ，成绩在80 分以上为事件 ，则 （2） 的分布列为： 45 55 65 0.2 0.3 0.5 期望 . （3）由题意知 ，即 ， 即 ，即 即 ，即 即 21.解： （1）设点 ，则 ， 依题意，得 ，化简得 的方程为 ，. （2）显然直线的斜率不为0，可设直线的方程为 ，. 当 时，由 解得 若 ， 则 的方程分别为 ，交点 的坐标为 . 若 ，同理可求得 . 若交点 在一条定直线上，则该直线只能为 . 以下证明当改变时，直线 与 交点 在点直线 上.事实上，由 得 ， 当 ，即 时，不合题意，所以 ， 记 ，则 ， 的方程分别为 ，要证明交点 在一条定直 线 上，只需证明 ，即证 ， 即证 ，因为 ， 所以交点 在定直线 上. 解法二：（2）显然直线的斜率不为0，可设直线的方程为 ， 由 得 ，当 ， 即 时，不合题意， 所以 ，记 ， 则 ， 的方程分别为 ， 联立方程，消去 得 ， 即 ， 代入 ， 解得 ， 因为 ， 所以 ， 所以交点 在定直线 上. 22.解： （1） 若 ，则 在 上单调递增，最多只有一解，所以 . 令 ，则 ， 解得 ，当 递增，当 递减，所以 为函数 唯一的极值点， 因为函数 有两个零点，所以 ，即 . 今 ，则 在 上单调递增， ， 所以 . （2）当 时 ，所以 今 ，在 上单调递减， ， 所以 .. 令 ，因为 ， 所以 在 上恒成立，所以 . 令 两根是 ，所以 ， 因为 ，所以 .