湖南省长沙市第一中学2021-2022学年高一下学期第三次阶段性检测数学试题

长沙市第一中学2021-2022 学年度高一第二学期第三次阶段 性检测 数学 时量：120 分钟 满分：150 分 一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知C 为复数集，集合 ， ，则（ ） A. B.  C.  D. 2. 已知 ，则 （ ） A. B. 1 C. D. 3. 已知函数 在 上单调递增，则 的值可以是（ ） A. B. C. D. 4. 设 ， ， ， ，则a，b，c 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 空间中过直线外一点有且只有一条直线与这条直线垂直 B. 空间中过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 C. 过平面外一点有且只有一个平面与这个平面垂直 D. 过平面外一点有且只有一条直线与这个平面平行 6. 有一组样本容量为10 的样本数据为：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，则该样本中（ ） A. 中位数与平均数的值不同 B. 第70 百分位数与众数的值不同 C. 方差与极差的值相同 D. 方差与标准差的值相同 7. 已知 是空间中两两不共线的非零向量，则“ ， ”是“ ， ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=1，点P 满足 ，其中 ， ，则下列说法正确的是（ ） A. 当 时，存在点P 使得CP BA1 B. 当 时，不存在点P 使得B，P，C1三点共线 C. 当 时，不存在点P 使得A1，B1，C，P 四点共面 D. 当 时，存在点P 使得A1B⊥AP 二、多选题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分） 9. 对于任意两个向量 ，下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 若 ，则 10. 已知函数 ，设其定义域为I，则（ ） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. ， D. ， 11. 如图，在边长为2 的正方形ABCD 中，点E，F 分别是AB，BC 的中点，EF 与BD 的交 点为G，将△AED，△BEF，△DCF 分别沿DE，EF，DF 折起，使得A，B，C 三点重合于 点P，则（ ） A. PD⊥EF B. 三棱锥P−DEF 的体积为 C. PG 与DF 所成角的余弦值为 D. 三棱锥P−DEF 的 外接球的表面积为 12. 有6 个相同的 球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次 取1 个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是4”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 5”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”，则（ ） A. 甲与乙互斥 B. 丙与丁互斥 C. 甲与丁相互独立 D. 乙与丙相互独立 三、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13. 假设 ，且事件A 与B 相互独立，则 ________. 14. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为__________ _. 15. 如图，为了测量河对岸的塔高 ，选与塔底 在同一水平面内的两个测量点 和 ， 现测得 米，则塔高 ________米． 16. 已知 ，点A，B，C 是函数 与 的图象中 连续相邻的三个公共点，若△ABC 是钝角三角形，则 的取值范围是________. 四、解答题（本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤） 17. 已知向量 =（ ， ）， ， =（1， ）. （1）若 ，求 的值； （2）若 ，求 的值. 18. 某中学有初中生1800 人，高中生1200 人，为了解全校学生本学期开学以来（60 天）的 课外阅读时间，学校采用按比例分层随机抽样方法，从中抽取了100 名学生进行问卷调查. 将样本中的“初中生”和“高中生”按学生的课外阅读时间（单位：小时）各分为5 组：[0， 10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，得其频率分布直方图如图所示. （1）估计全校学生中课外阅读时间不足10 个小时的总人数是多少； （2）从课外阅读时间不足10 个小时的样本学生中随机抽取3 人，求至少有2 个初中生的 概率. 19. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，BC=BB1=3，G 为AB 的 中点，E，F 分别 在线段A1C1，AC 上，且 . （1）求证： 平面BB1F； （2）求四面体BEFG 的体积. 20. 在△ABC 中， ， . （1）求 的值； （2）求△ABC 的面积S. 21. 如图，在四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面PAD⊥底面ABCD， PA=PD，点E 为BC 的中点，△AEB 为等边三角形. （1）证明：PB⊥AE； （2）点F 在线段PD 上且DF=2FP，若二面角F−AC−D 的大小为45°，求直线AE 与平面 ACF 所成角的正弦值. 22. 已知函数 在区间 （ ）上的 最 大值为 ，最小值为 ，记 . （1）求 的值； （2）设 （ ）. ①若 ，试写出方程 的一个解； ②若 ，求函数 的零点个数.