辽宁省名校联盟2022-2023学年高二上学期10月联考数学试题(2)

（北京）股份有限公司 辽宁省名校联盟2022 年高二10 月份联合考试 数学 命题人:抚顺二中 胡世龙 审题人:抚顺二中 孙振刚 本试卷满分150 分,考试时间120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其他答案标号。答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1. 设集合 , 则 中元素的个数是 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 若圆锥的侧面积为 , 底面积为 , 则该圆锥的体积为 A. B. C. D. 3. 圆 与圆 的位置关系为 A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 4. 城市的许多街道是互相垂直或平行的, 因此往往不能沿直线行走到达目的地, 只能按直角拐弯的 方式行走. 如果按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系, 对两点 ,定义两 点间“距离”为 , 则平面内与 轴上两个不同的定点 的“距离”之和 等于定值 (大于 )的点的轨迹可以是 （北京）股份有限公司 5. 设为直线, 是两个不同的平面, 则下列结论中正确的是 A. 若 , 则 B. 若 , 则 C. 若 , 则 D. 若 , 则 6. 已知直线 与 平行, 则 的值是 A. 1 B. 2 或5 C. 5 D. 1 或2 （北京）股份有限公司 7. 已知圆 , 直线 , 设圆 上到直线的距离等 于1 的点的个数为 , 则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图, 半径为 的半球 的底面圆 在平面 内, 过点 作平面 的垂线交半球面于点 , 过圆 的直径 作与平面 成 角的平面与半球面相交,所得交线上到平面 的距离最大的点为 , 该交 线上的一点 满足 , 则 A. B. C. D. 二、选择题: 本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求, 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分。 9. 已知两个平面互相垂直,下列说法中错误的是 A. 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面 B. 分别在这两个平面内且互相垂直的两条直线, 一定分别与另一个平面垂直 C. 过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线, 必垂直于另一个平面 D. 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 10. 如图, 正四面体 的顶点 分别在两两垂直的三条射线 上, 则下列说法中 正 确的为 A. 是正三棱锥 B. 直线 平面 C. 直线 与 所成的角是 （北京）股份有限公司 D. 二面角 为 11. 已知椭圆 为 的左焦点, 直线 与 交于 两点 (点 在第一象限), 直 线 与椭圆 的另一个交点为 , 则 A. B. 当 时, 的面积为 C. D. 的周长的最大值为 （北京）股份有限公司 12. 已知椭圆 , 其内接矩形面积记为 , 外切矩形 (即矩形的每条边都与椭圆相切) 面积 记为 , 则下列说法正确的有 A. 可能等于 B. 可能等于 12 C. 可能等于 14 D. 可能等于 12 三、填空题: 本题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分。 13. 已知中心在原点的椭圆 的右焦点为 , 离心率等于 , 则 的方程是_____. 14. 已知直二面角 ,点 为垂足,点 为垂足,若 , 则 _____. 15. 已知圆 , 点 , 过点 且垂直于 的直线交圆 于 两点, 过 两点分别作圆 的切线, 两切线相交于点 , 则过点 且平行于 的直线方程为_____. 16. 已知正三棱台的各个顶点都在同一个直径为 10 的球面上, 上底面边长为 , 下底面边长为 , 则该正三棱台的体积为_____. 四、解答题:本题共6 小题,共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(10 分) 若过点 可以作两条直线与圆 相切, 求实数 的取值范围. 18. (12 分) 已知椭圆 的中心在原点, 一个焦点为 , 且长轴长与短轴长的比是 . (1)求椭圆 的方程; (2) 设点 , 点 是椭圆 上任意一点, 求 的最大值. 19. (12 分) 已知空间向量 . (1) 若 与 互相垂直, 求 ; （北京）股份有限公司 (2) 记 , 且 , 求点 的坐标. 20. (12 分) 在平面直角坐标系 中, 已知圆 的方程为 , 点 . (1) 求过点 且与圆 相切的直线方程; (2) 过点 任作一条直线与圆 交于 两点, 圆 与 轴正半轴的交点为 , 求证: 直线 与 的斜率之和为定值. （北京）股份有限公司 21. (12 分) 在① 平面 ;② 为 的中点这两个条件中任选一个, 补充在下面横线上, 并解答问题. 如图, 四棱锥 的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的 倍, 为侧棱 上的点. (1)若______, 求二面角 的大小; (2) 在(1)的条件下,侧棱 上是否存在一点 ,使得 平面 ? 若存在, 求出点 的位置; 若不 存在, 试说明理由. 22. (12 分) 设椭圆 的长轴长为 4 , 离心率为 . (1) 求椭圆 的方程; (2) 过椭圆 外一点 任作一条直线交椭圆 于 两点, 在线段 上取点 , 满足 , 证明: 点 总在某条定直线上.