河南省洛阳市创新发展联盟2022-2023学年高二下学期5月阶段性检测+数学+Word版含解析

2022~2023 学年下学期创新发展联盟高二阶段检测 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A 版选择性必修一、二、三。 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若一个等差数列的前7 项和为21，则该等差数列的第4 项为 A.2 B.3 C.4 D.5 2. 若 T ∼B(15, 1 5),则D(T)= A.3 B.4 C . 12 5 D. 16 5 3. 已知点P 在圆 x 2−2❑ √3 x+ y 2−2 y=0 上，则点P 到x 轴的距离的最大值为 A.2 B.3 C. ❑ √3 D .❑ √3+2 4. 某地区内猫的寿命超过12 岁的概率为p，超过16 岁的概率为0.15，且一只寿命超过12 岁的猫的寿命超 过16 岁的概率为1 6 .从该地区内任选两只猫，则至少有一只寿命超过12 岁的概率为 A.0.88 B.0.9 C.0.96 D.0.99 5. 如图，某手链由10 颗较小的珠子(每颗珠子相同)和11 颗较大的珠子(每颗珠子均不相同)串成，若10 颗小 珠子必须相邻，大珠子的位置任意，则该手链不同的串法有 A. A11 11种 B. A11 11 2 种 C. A12 12种 D. A12 12 2 种 6. (1+x+ y x −2 y) 5 的展开式的常数项为 A.1 B.121 C.-119 D.-120 7. 已知f ( x)是定义在R 上的奇函数,f ( x)的导函数为f '( x),若f ' (x )≥cosx恒成立,则f ( x)≥sinx的解集为 A.[-π,+∞) B.[π,十∞) C .[ π 2 ,+∞) D.[0,+∞) 8. 已知抛物线 C : y= 1 4 x 2,直线y=kx+1与C交于A,B两点,直线 y=1 k x+1 与C交于M,N两点,则|AB|+2| MN|的最小值为 A .8 ❑ √2+12 B.8 ❑ √2+8 C .12❑ √2+4 D.12❑ √2+8 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的 得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9. 某社区医院工作人员在社区内开展了“如何护理患有黄疸的新生儿”的知识讲座，并向参与讲座的每人发放 了一份相关的知识问卷.该讲座结束后，共收回问卷100 份.据统计，这100 份问卷的得分X(满分为100 分)服从正态分布N(80，25)，下列说法正确的是 附:若X N(μ,σ²), 则 P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.683, P(μ−2σ<X ≤μ+2σ)=0.954, P( μ−3σ<X ≤μ+3σ) A.这100 份问卷得分数据的平均数是80，标准差是5 B.这100 份问卷中得分超过85 分的约有16 份 C.P(70<X<75)= P(85<X<90) D.若在其他社区开展该知识讲座并发放知识问卷，得到的问卷得分数据也服从正态分布N(80,25) 10. 在三棱锥A-BCD 中, ⃗ AB, ⃗ AC, ⃗ AD两两夹角均为π 3 ,且¿⃗ AB∨¿∨⃗ AC∨¿ 1 2∨⃗ AD∨¿1,若G,M 分别为线段 AD，BC 的中点，则 A .∨⃗ MG∨¿ 3 ❑ √3 4 B.∨⃗ MG∨¿ ❑ √3 2 C.异面直线AC 与DB 所成角的正弦值为 ❑ √33 6 D.异面直线AC 与DB 所成角的正弦值为 ❑ √3 6 11. 已知等比数列{an}的前n 项积为T ₙ ,a₁=32, 且T₅=T₆,则下列结论正确的是 A. a6=1 B.{an}的公比为- 1 2 C .T ₙ ≤2 ¹ ⁰ D .a1⋅a2⋅⋯an=a1⋅a2⋅⋯⋅a11−n(n∈N +¿,n<11)¿ 12. 已知函数 f (x )=eˡⁿˣ ⁺¹⁻ˣ ,下列结论正确的是 A. f ( x)在(0,+∞)上单调递增 B. f ( x)的最大值为1 C.当x∈(0,1)时,f (1+x)>f (1−x) D.若函数g( x)=f (f ( x))−m恰有2 个零点,则m的取值范围为(0,1) 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 双曲线 x 2 5 −y 2 b 2 =1 的焦点到渐近线的距离为5，则该双曲线的渐近线方程为 ▲ . 14. 现有A，B 两艘轮船同时到达码头等待卸货，A 轮船至少需要3 名卸货工人，B 轮船至少需要4 名卸货工人. 若码头有8 名工人可以挑选，且每名工人只能去一艘轮船卸货，则这两艘轮船卸货的人选共有 ▲ 种不 同的选法. 15. 一个装有水的圆柱形水杯水平放在桌面上，在杯中放入一个半径为1cm 的球状物体后，水 面高度为6cm，如图所示.已知该水杯的底面圆半径为3cm，若从t=0s 时刻开始，该球 状物体的半径以1cm/s 的速度变长(在该球状物体膨胀的过程中，该球状物体不吸水，且 始终处于水面下，杯中的水不会溢出)，则在t =2s 时刻,水面上升的瞬时速度为 ▲ cm/s. 16. 已知数列{an}满足2aₙ₊₂+aₙ=3aₙ₊₁,a₁=1,a₂=5,记A(n,an),B(n,9),O为坐标原点,则△OAB 面积的 最大值为 ▲ . 四、解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (10 分) 2022 年卡塔尔世界杯于北京时间11 月20 日在卡塔尔正式开赛，该比赛吸引了全世界亿万球迷观看.为了 了解喜爱观看世界杯是否与性别有关，某体育台随机抽取200 名观众进行统计，得到如下2×2 列联表. 男 女 合计 喜爱看世界杯 60 20 80 不喜爱看世界杯 40 80 120 合计 100 100 200 试根据小概率值α=0.001 的独立性检验，能否认为喜爱观看世界杯与性别有关联? 附 x 2= n (ad −bc ) 2 (a+b) (c+d ) (a+c ) (b+d ) ,其中n=a+b+c+d . α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18.(12 分). 已知等差数列 { 1 an}满足 1 a1 +2= 1 a2 ,a3=1 5 . (1)求数列{an}的通项公式. (2)设数列{a ₙ ₊₁a ₙ ₊₂}的前n 项和为T n.证明: 1 15 ≤T n< 1 6 . 19.(12 分) 国产科幻电影《流浪地球2》在给观众带来视觉震撼的同时，也引领观众对天文、航天、数字科技等领域展 开了无限遐想.某校为激发学生对天文、航天、数字科技三类相关知识的兴趣，举行了一次知识竞赛(竞赛试题中 天文、航天、数字科技三类相关知识题量占比分别为40%，40%，20%).某同学回答天文、航天、数字科技这 三类问题中每个题的正确率分别为 2 3 , 1 2 , 1 3 . (1)若该同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若该同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得2 分，回答错误不得分，设该同学回答三题 后的总得分为X 分，求X 的分布列及数学期望. 20.(12 分) 如图，在正三棱柱A₁B₁C₁-ABC 中,D 为AB 的中点,⃗ C1 E=λ⃗ C1C(0<λ<1), A1 A=❑ √3 AB ¿2❑ √3. (1)若λ=1 2 ,证明:DE⊥平面A₁B₁E. (2)若直线BC₁ 与平面A₁B₁E 所成角为 π 3 ,求λ 的值. 21.(12 分) 已知离心率为 ❑ √3 2 的椭圆 C : x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a>b>0) 经过点A(2,1). (1)求椭圆C 的方程. (2)不经过点A且斜率为k的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，若直线AP与直线AQ的斜率之积为1 4 ,试问k是 否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由. 22.(12 分) 已知函数f ( x)=aln x+ax+1. (1)当a=1时,求f ( x)的图象在点(1,f (1))处的切线方程; (2)若不等式f (x )≤xeˣ恒成立，求a的取值集合. 2022~2023 学年下学期创新发展联盟高二阶段检测 数学参考答案 1. B 因为第4 项为该等差数列前7 项的中间项，所以该等差数列的第4 项为21 7 =3. 2. C 因为 T ∼B(15, 1 5),所以 D (T )=15× 1 5 ×(1−1 5)=12 5 . 3. B 圆 x 2−2❑ √3 x+ y 2−2 y=0 即圆 (x−❑ √3) 2+( y −1) 2=4 ,易得点P 到x 轴的距离的最大值为2+1=3. 4. D 设 A: 猫的寿命超过 12 岁 ,B:猫的寿命超过16 岁.依题意有P(A)=p,P(B)=P(B∩A)=0.15，则一只寿命超 过12 岁的猫的寿命超过16 岁的概率P (B A )= P (B∩A ) P ( A ) =0.15 p =¿ 1 6 ,则p=0.9.从该地区内任选两只猫， 则至少有一只寿命超过12 岁的概率为 1-( 1 -0.9)²=0.99. 5. B 将10 颗小珠子看成一个整体，不同的串法有 A11 11 2 种. 6. C 因为 x⋅y x ⋅1 y =1, 所以 (1+x+ y x −2 y) 5 的展开式的常数项为1 5+C5 2C3 1 x⋅C2 1⋅y x ⋅ ( −2 y )=1−120=−119. 7. D 令函数g( x)=f ( x)−sinx,则g ' (x )=f ' (x )−cosx . 因为f ' (x )≥cosx ,所以.g'( x)>0, g( x)是增函数. 因为f ( x)是奇函数,所以f (0)=0,g(0)=f (0)-0=0, 所以g( x)≥0的解集为[0,+∞),即f ( x)≥sinx的解集为[0,+∞). 8. A 设 A( x₁, y ₁),B( x₂, y ₂), 联 立 { y= 1 4 x 2, y=kx+1, 得 x²-4kx-4=0, 则 x₁+x₂=4 k , y ₁+ y ₂=k( x₁+x₂)+2=4 k ²+2, 因为直线y=kx+1经过 C 的焦点, 所以 ¿ AB∨¿ y ₁+ y ₂+ p=4 k ²+4， 同 理 可 得 ¿ MN∨¿ 4 k 2 +4 ,所 以 ¿ AB∨+2∨MN∨¿4 k 2+4+ 8 k 2 +8≥2❑ √ 4 k 2⋅8 k 2 +12=8 ❑ √2+12,当且仅当k ⁴=2时，等号成立. 9. ABC 由题意得, 这100 份问卷得分数据的平均数是80, 标准差是5,A 正确. P(X>85)= 1−0.683 2 =0.1585,100×0.1585≈16,所以这100 份问卷中得分超过85 分的约有16 份，B 正确. P(70<X<75)=P(85<X<90)C 正确。同一份 问卷发到不同社区，得到的数据不一定相同，D 错误. 10. BC 不妨设 ⃗ AB=a,⃗ AC=b,⃗ AD=c , 则 ¿a∨¿∨b∨¿1,∨c∨¿2,a⋅b=1 2 ,b⋅c=a⋅c=1,⃗ MG ¿⃗ AG−⃗ AM=1 2⃗ AD−1 2 (⃗ AB+⃗ AC )=1 2 (c−a−b),∨⃗ MG∨¿ 1 2 ❑ √(c−a−b) 2= ❑ √3 2 . 因为⃗ AC ⋅⃗ BD=b⋅(c−a)=b⋅c−b⋅a=1 2 ,∨⃗ BD∨¿ ❑ √(c−a) 2=❑ √3, 以cos ⟨⃗ AC ,⃗ BD)=¿ ⃗ AC ⋅⃗ BD ¿⃗ AC∨¿⃗ BD∨¿= ❑ √3 6 ,sin ⟨⃗ AC ,⃗ BD)= ❑ √ 1−( ❑ √3 6 ) 2 = ❑ √33 6 ,¿ 所以异面直线AC 与DB 所成角的正弦值为 ❑ √33 6 . 11. ABD 因为T₅=T₆,所以 a₆=1,A 正确. 因为 a₆=a₁q⁵,所以 q 5= 1 32 , 解得 q=1 2 ,B正确. T ₙ ≤T ₅=2⁵⁺⁴⁺³⁺²⁺¹=2¹⁵,C 错误. 因 b1•a2•⋯•an=a1 nq 1+2+⋯+n−1=(q −5) nq n (n−1) 2 =q n (n−1) 2 ,a1•a2•⋯•a11−n=¿ a1 11−nq 1+2+⋯+10−n=(q −5) 11−nq (10−n) (11−n) 2 =q n (n−11) 2 , 所以 a1⋅a2⋅⋯an=a1⋅a2⋅⋯a11−n(n∈N +¿,n<11)¿ 成立，D 正确. 12. BCD f ( x)的定义域为(0,+∞) ,f (x )=e ln x+1−x=ex e x ,f ' (x )=e (1−x ) e x ,所以当0<x<1 时, f ' (x )>0,f (x )单 调递增，当x>1 时,f ' (x )<0,f (x )单调递减,则f ( x)≤f (1)=1,A 错误，B 正确. 令 F (x )=f (1+x )−f (1−x )= x+1 e x +(x−1)e x, x∈(0,1), 则 F ' (x )=x(e x−1 e x)=¿ x (e 2 x−1) e x . 因为 x∈(0,1),所以F '( x)>0,F( x)为(0,1)上的增函数,则F( x)>F(0)=0,即f (1+x)>f (1−x),C 正确. 当m>1 或m≤0 时,g(x)没有零点.当m=1 时,g(x)只有1 个零点.当0<m<1 时，令f(x)=t,方程f(f(x))- m=0 的两个解为t₁,t₂,t₁∈(0,1),t₂∈(1,+∞),t₁=f(x)有2 个不同的实根，t₂=f(x)没有实数根，故函数 g(x)=f(f(x))-m 恰有2 个零点时,m 的取值范围为(0,1),D 正确. 13. y=± ❑ √5 x(或 ❑ √5 x ± y=0) 依题意可得b=5,a=❑ √5,则该双曲线的渐近线方程为y= ± b a x=± ❑ √5 x . 14.406 若A 轮船选择3 名工人卸货,则有 C8 3(C5 4+C5 5)=336 种选法；若A 轮船选择4 名工人卸货，则有 C8 4C4 4=70 种选法.故这两艘轮船卸货的人选共有336+70=406 种不同的选法. 15.4 杯中水的体积为 π ×3 2×6−4 3 ×π ×1 3=158 π 3 . 设在该过程中水面高度为h ，则π×3²× ℎ=158 π 3 + 4 π (1+t ) 3 3 , 即ℎ=158 27 + 4 (1+t ) 3 27 . 令函数 f (t )=158 27 + 4 (1+t ) 3 27 , 则f ' (t )=¿ 4 (1+t ) 2 9 ,f ' (2)=4. 故在t=2s 时刻， 水面上升的瞬时速度为4 cm/s. 16.4 因为 2a ₙ ₊₂+a ₙ =3a ₙ ₊₁, 所以 2a ₙ ₊₂−2a ₙ ₊₁=a ₙ ₊₁−a ₙ , 即an+2−an+1=1 2 (an+1−an). 因为 a₂−a₁=4, 所以a ₙ ₊₁−a ₙ 是以4 为首项1 2为公比的等比数列， a ₙ ₊₁−a ₙ =4× ( 1 2) n−1 , 所以 an=a1+(a2−a1)+⋯+(an−an−1)=1+4+⋯+4×( 1 2) n−2 =1+4× 1−( 1 2) n−1 1−1 2 =9−2 1−n. 因为2⁴⁻ⁿ>0,所以 a ₙ =9−2⁴⁻ⁿ<9. S△QAB=1 2∨AB∨⋅n=1 2 (9−9+2 4−n)⋅n=n⋅2 3−n. 令函数 f (n)=n⋅2³⁻ⁿ , 则. f (n+1)−f (n)=(n+1)⋅2²⁻ⁿ −n⋅2³⁻ⁿ=(1−n)⋅2²⁻ⁿ . 当n≥1 时,f(n+1)-f(n)≤0,所以f(1)=f(2),且f(n)在[2,+∞)上单调递减. f (n) ₐₓ ₘ =f (1)=f (2)=4，故△OAB 面积的最大值为4. 17.解:零假设为H₀:喜爱观看世界杯与性别无关联. 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 分 根据列表中的数据，经计算得到χ 2=200× (60×80−20×40) 2 80×120×100×100 =100 3 ,…………………6 分 因为 100 3 >10.828=x0.001, ……………………………………………………………8 分 根据小概率值α=0.001 的独立性检验，推断H₀ 不成立，即认为喜爱观看世界杯与性别有关联…………… …………………………………………………………………10 分 18.(1)解:设数列 { 1 an}的公差为d， 则 1 a2 −1 a1 =2=d , …………………………………………………………………2 分 所以 1 an = 1 a3 +2 (n−3)=2n−1. ………………………………………………………4 分 故 an= 1 2n−1 . ………………………………………………………………